Существование двустороннего предела функции

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.

Хотел попросить помощи по такому вопросу: необходимо вычислить предел:

$$\lim\limits_{x \to 8} \frac{2x-7}{x-8}$$

правильно ли я понимаю, что двустороннего предела не существует, так как односторонние пределы не равны друг другу? Слева будет $-\infty$, справа $\infty$.

Спасибо!

[ИСН]

Естественно.

-- менее минуты назад --

Если только одна из восьмёрок не лежала на боку

[Limit79]

ИСН
Спасибо!

А вот такой $\lim\limits_{x \to 0} \frac{100}{\ln(x)}$ тоще не существует? Так как справа будет ноль, а левостороннего не существует.

-- 04.11.2013, 14:18 --

ИСН в сообщении #784489 писал(а):

Если только одна из восьмёрок не лежала на боку

Не, именно восьмерки

[provincialka]

Только лучше писать $+\infty$, это не то же самое, что $\infty$. Если вы допускаете бесконечность без знака, то в первом примере есть предел, равный $\infty$

[Limit79]

provincialka
Именно это меня и смутило. Я где-то здесь на форуме читал, что $\infty$ -- это $-\infty$ или $\infty$.

Но ведь существование предела не должно зависеть от обозначений и должно быть однозначно определено

-- 04.11.2013, 15:09 --

А вот односторонние пределы логарифма в нуле ни в интернетах, ни в книгах найти не могу...

[Otta]

Limit79 в сообщении #784490 писал(а):

А вот такой $\lim\limits_{x \to 0} \frac{100}{\ln(x)}$ тоще не существует? Так как справа будет ноль, а левостороннего не существует.

Левосторонний не "не существует", там функция не определена. Нельзя же считать предел от того, чего нет.

[Limit79]

Otta
То есть $\lim\limits_{x \to 0} \frac{100}{\ln(x)} = 0$ ?

Otta в сообщении #784523 писал(а):

Левосторонний не "не существует", там функция не определена

Вот именно этот момент меня интересовал...

[provincialka]

Limit79 в сообщении #784501 писал(а):

Но ведь существование предела не должно зависеть от обозначений и должно быть однозначно определено

Да, должно быть однозначно определено в пределах вашей задачи. Но это не исключает возможность другого определения в другой задаче, только это должно быть оговорено! Например, уравнение $x^2=2$ не имеет решения в рациональных числах, но имеет в вещественных. А уравнение $x^2=-2$ не имеет действительных решений, но имеет комплексные.

А вот разница между $\infty$ и $+\infty$ - не в обозначениях. Это два разных способа "расширить" прямую.
Если мы хотим добавить к вещественной прямой "бесконечно удаленный элемент", мы может сделать это двумя способами: две "бесконечности" со знаками, или одна, но без знака. На второй прямой ваш первый предел существует.

[Otta]

Limit79
Обычно по умолчанию не выходят за область определения, и если $f:E\to\mathbb R$, то

$$\lim\limits_{x\to a} f(x)=\lim\limits_{E\ni x\to a} f(x).$$

Поэтому у Вас

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{100}{\ln(x)} =\lim\limits_{x \to 0+0} \frac{100}{\ln(x)}=0.$$

-- 04.11.2013, 16:49 --

provincialka в сообщении #784527 писал(а):

На второй прямой ваш первый предел существует.

Не согласная я. Пределом функции $f$ при $x\to a$ называется число... такое, что...

[provincialka]

Насчет числа - да, согласна. Если предел равен бесконечности, то функция предела не имеет. Я просто хотела подчеркнуть, что дело не в односторонних пределах.

[Limit79]

Otta
provincialka
Этот момент понял, спасибо!

provincialka в сообщении #784538 писал(а):

Если предел равен бесконечности, то функция предела не имеет

Но ведь, например, $\lim\limits_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ ?

[Otta]

И? В чем вопрос?

[provincialka]

Вообще у меня остаются некоторые сомнения по этой бесконечности. С последовательностью понятно, если $\lim a_n=\infty$, я скажу, что последовательность расходится. А с функцией как? Как терминологически отделить случай бесконечного предела и отсутствия предела?

[ewert]

Otta в сообщении #784548 писал(а):

И? В чем вопрос?

В его праздности. Бесконечный предел функции -- понятие вполне стандартное. И всё, что нужно -- в сомнительных случаях тщательно выговаривать что-нибудь типа "предел функции существует и конечен".

[Limit79]

Otta в сообщении #784548 писал(а):

И? В чем вопрос?

Предел равен чему-то, но в то же время его не существует?