"принцип сжимающих отображений"

[Oleg Zubelevich]

$X$ -- полное , отделимое полуметрическое пространство с семейством полуметрик $\{d_\alpha(\cdot,\cdot)\}_{\alpha\in A}.$
Отображение $f:X\to X$ непрерывно и таково, что для любого $\alpha\in A$ найдутся $\gamma\in A$ и число $c>0$ такие, что верно неравенство

$$d_\gamma(f(x),f(y))\le d_\gamma(x,y)-cd_\alpha(x,y),\quad \forall x,y\in X.$$

Теорема. Отображение $f$ имеет (и при том единственную) неподвижную точку.

А вопрос, собственно, такой. Есть ли приложения этой теоремы какие-нибудь не совсем глупые?

[sergey83]

В вычислительной математике эта теорема поможет доказать сходимость какого-то итерационного метода нахождения корня функции. Но только не метода Ньютона.

[yafkin]

Если Вы так считаете предел то интересно посмотреть как это выглядит в случае использования в качестве элементов множества подмнохеств
Пределом будет подмнржество?

[Groging]

Например, доказывать единственность решения задачи Коши при помощи этой теоремы очень просто.
Ну и если оператор является сжимающим, то мы легко решение находим итерационно.
В интегральных уравнениях это может быть полезно, например

[ewert]

sergey83 в сообщении #787464 писал(а):

Но только не метода Ньютона.

Очень даже метода Ньютона. Более того -- для метода Ньютона именно принцип сжимающих отображений (в обычном, т.е. метрическом варианте) даёт в т.ч. и квадратичную скорость сходимости.

А есть ли какая-либо польза от такого варианта обобщения этого принципа -- не знаю.

[sergey83]

А как тогда объяснить такой парадокс в методе Ньютона, что иногда на очередном шаге итерации мы не приближаемся к корню функции, а наоборот, удаляемся?
Вот в методе простых итераций всё чётко. Метрика сжимается, а на каждом шаге итерации мы ближе к корню функции, чем на предыдущем шаге.

[ewert]

sergey83 в сообщении #873462 писал(а):

Вот в методе простых итераций всё чётко.

Вот в простых случаях всё просто: если сходимость нам гарантирована -- то она гарантирована.

А если не гарантирована, как оно и бывает в реальной жизни -- то уж и извините. Попали в нужную окрестность -- принцип сжимающих отображений дальнейшую сходимость гарантирует. Не попали -- плывите дальше; что поделать, чудес не бывает.

[Groging]

sergey83 в сообщении #873462 писал(а):

А как тогда объяснить такой парадокс в методе Ньютона, что иногда на очередном шаге итерации мы не приближаемся к корню функции, а наоборот, удаляемся?
Вот в методе простых итераций всё чётко. Метрика сжимается, а на каждом шаге итерации мы ближе к корню функции, чем на предыдущем шаге.

У любого метода есть свои условия применимости, как правило, за увеличение скорости сходимости мы платим более серьезными ограничениями на функцию.

В известной мне формулировке требуется, чтобы функция была дважды непрерывно дифференцируема на отрезке поиска, модуль первой производной ограничен снизу, а второй - сверху. Тогда всё совсем хорошо.

Тут можно ослабить некоторые условия и потерять квадратичную сходимость, но метод ещё будет сходиться.
А при других ослаблениях уже даже сходимость не будет гарантироваться.

[ewert]

Groging в сообщении #874102 писал(а):

требуется, чтобы функция была дважды непрерывно дифференцируема на отрезке поиска, модуль первой производной ограничен снизу, а второй - сверху.

Непрерывность второй производной необязательна, но для простоты пусть будет непрерывной. Тогда для первой производной достаточно (и в каком-то смысле необходимо) лишь одного требования: производная в корне не должна обращаться в ноль. Т.е. корень должен быть простым, если говорить вульгарно.