Уравнение в натуральных числах

[Ktina]

Пусть $S(n)$ -- сумма цифр в десятичной записи натурального числа $n$
Решить уравнение:

$$n+S(n)+S(S(n))+\dots +\underbrace{S(S(\dots S(n)))}_{n-1\text{ раз}}=2013$$

[gris]

Получается, что мы должны получить в левой части число, которое равно $2013$. Но раз числа равны, то и их остатки от деления на $9$ равны. Но у числа $2013$ остаток равен $6$. А в левой части всего слагаемых $n$, а сумма цифр имеет тот же остаток, что у числа, и получается, что мы должны получить в левой части то, чего не получается?

Если я правильно посчитал скобочки. Например, $n=11$

$11+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=31$. Маловато будет.

А можно до Олимпиады в Сочи подождать?

[Ktina]

gris
Вы свели исходное уравнение к уравнению $k^2=2013$, не имеющему целочисленных решений?

[gris]

Ничего я не сводил. Я вообще эти целые числа не люблю, и только из-за Вас и пытаюсь решать такие задачи. Просто я с детства помню, что сумма цифр натурального числа имеет тот же остаток от деления на $9$, что само число. А остаток от произведения чисел равен остатку от произведения остатков. Да так ли??? Не сойдёшь ли тут с ума?
И получается, что остаток от произведения самого числа на его остаток равен $6$. Везде остатки от деления на $9$, конечно. Ну и не бывает так, вот.

-- Вс ноя 03, 2013 15:28:06 --

А почему должен быть квадрат?
Вот $n=400$ даёт $1996$. Не квадрат, но число весьма красивое

[nnosipov]

Ktina в сообщении #784002 писал(а):

Вы свели исходное уравнение к уравнению $k^2=2013$, не имеющему целочисленных решений?

К сравнению $n^2 \equiv 2013 \pmod{9}$, которое действительно не имеет решений.