Предел

[karandash_oleg]

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=?$

Как строго показать чему равен предел?

$\lim\limits_{x\to 0+0}\dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=\lim\limits_{x\to 0+0}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+O\left(\left(\dfrac{1}{x}\right)^3\right)\right)=?$

$\lim\limits_{x\to 0-0}\dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=\lim\limits_{x\to 0+0}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+O\left(\left(\dfrac{1}{x}\right)^3\right)\right)=?$

[provincialka]

Откуда такие формулы? экспонента в бесконечности не ведет себя как многочлен. К чему стремится числитель в каждом варианте?

[iifat]

karandash_oleg в сообщении #784031 писал(а):

$\lim\limits_{x\to 0+0}\dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$

Эээ... Какого рода неопределённость вы тут наблюдаете?

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #784036 писал(а):

Откуда такие формулы? экспонента в бесконечности не ведет себя как многочлен. К чему стремится числитель в каждом варианте?

Спасибо.

1) $+\infty$
2) $0$

А с чего начать тогда?

[Otta]

С ответа. Очевидно же, куда дробь стремится, не?

[karandash_oleg]

iifat в сообщении #784038 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #784031 писал(а):

$\lim\limits_{x\to 0+0}\dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$

Эээ... Какого рода неопределённость вы тут наблюдаете?

$\dfrac{\infty}{0}=\infty$?

[Otta]

Угу. Нету тут неопределенности. (В положительном случае, отрицательный не сразу разглядела).

[karandash_oleg]

Otta в сообщении #784044 писал(а):

С ответа. Очевидно же, куда дробь стремится, не?

В первом случае да, к бесконечности. А во втором как?

[provincialka]

Вы же правильно разбили задачу на два случая. В "отрицательном" случае неопределенность будет.

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #784049 писал(а):

Вы же правильно разбили задачу на два случая. В "отрицательном" случае неопределенность будет.

А как ее искоренить? Правило Лопиталя не помогло(

[Otta]

karandash_oleg в сообщении #784047 писал(а):

А во втором как?

А во втором - замену, например. Чтобы свелось к "аргумент экспоненты стремится к плюс бесконечности".

[karandash_oleg]

Спасибо

$\lim\limits_{t\to -\infty}{te^t}$

А тут как быть?

[Otta]

К плюс бесконечности хоцца.

[karandash_oleg]

$\lim\limits_{x\to 0-0}\dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=\left[t=-\dfrac{1}{x}\right]=-\lim\limits_{t\to +\infty}\dfrac{t}{e^t}=-\lim\limits_{t\to +\infty}\dfrac{1}{e^t}=0$

Верно?

[Otta]

Ну можно и так. А можно вспоминать, кто на бесконечности растет быстрее: степень или экспонента.