Радиус

[Terraniux]

Найдите максимум отношения $r/R$, где $r$ и $R$ - радиусы вписанной и описанной сфер $k$-мерного тетраэдра.

[gris]

А можно ли считать отрезок одномерным тетраэдром?

[arqady]

Если Вы так считаете, то и радиус вписанного шара у Вас получится равным нулю, что есть хорошо.
Вообще-то, даже я догадался, что $k\geq3$.

[ewert]

Можно. И ответ $\frac1k$ на него вполне распространяется.

[gris]

arqady, а двойка-то чем Вас обидела? В треугольник можно вписать окружность, то бишь двумерную сферу. И около него можно описать окружность. В одномерном случае обе одномерных сферы будут иметь радиус диаметр, равный длине отрезка. Я, например, описанную и вписанную сферы представляю как минимальную и максимальную сферы в отношении содержания одной фигуры в другой. Сферу надо понимать как шар. Для тетраэдров высших размерностей совпадает с общепринятым определением.
Но, вообще-то, это была шутка, конечно

[ewert]

gris в сообщении #783882 писал(а):

В одномерном случае обе одномерных сферы будут иметь радиус, равный длине отрезка.

ну не совсем

[gris]

Вечно я их путаю. Радиус с диаметром и Байеса с Бернулли.

Хотя, если выкинуть одномерный случай, то в двумерном случае тетраэдром можно считать квадрат-тетрагон. Тогда максимум будет чуть больше половинки.

Ну а если и двумерный случай выкинуть, то уж тогда уж и не знаю.

[arqady]

gris в сообщении #783882 писал(а):

arqady, а двойка-то чем Вас обидела?

Тут была такая цепочка. Тетраэдр - он мнгогранник, а многогранник - он тело, а у тела, по определению, есть непустая внутренность, а у треугольника внутренность - пустое множество.
Прада, у них там, у двумерных, шары - это круги... Да, всё правильно. Разрешаю!

[ewert]

arqady в сообщении #783897 писал(а):

Тетраэдр - он мнгогранник,

Нет, он симплекс.

[gris]

Пардон. Я, наверное, не так понял условие. Я думал, что ищется максимум по всем $k$, а ТС имел в виду максимум по всем тетраэдрам при фиксированном $k$. То есть типа доказать, что он достигается на правильном многомерном тетраэдре (симплексе).

[Terraniux]

ewert в сообщении #783881 писал(а):

Можно. И ответ $\frac1k$ на него вполне распространяется.

Известно ли Вам доказательство (или другим участникам)? Уже для $k=3$ тяжело доказать, а для любого?