Чётное число закрашенных соседей

[Ktina]

Можно ли на клетчатой бумаге, закрасить 25 клеток так, чтобы у каждой из них было чётное число закрашенных соседей?
(клетки называются соседями, если у них общая сторона )

Я думаю, что да. Возьмём три фигуры, каждая из которых представляет объединение полей a2, a3, b1, b2, b3, c1 и c2 шахматной доски. Также возьмём квадрат $2\times 2$. Эти четыре фигуры расставим достаточно далеко друг от друга и закрасим все их клетки.

Хотелось бы обобщить задачу, взяв вместо 25 произвольное натуральное число $k$, и мне кажется, что при $k\equiv 1\pmod 4$ можно закрасить указанным в задаче образом лишь $k\geqslant 25$ клеток, а меньше нельзя.

Пожалуйста, помогите решить.

[Urnwestek]

Если я правильно понял задачу, то для всех достаточно больших можно.
Возьмём два закрашенных квадрата 2х2, поставим их на одной высоте, а между ними сделаем тропинку из $n$ последовательно закрашенных клеток $n>0$. То есть при всех $k \geqslant 9$ задача имеет решение.

[Ktina]

Urnwestek в сообщении #782451 писал(а):

Если я правильно понял задачу, то для всех достаточно больших можно.
Возьмём два закрашенных квадрата 2х2, поставим их на одной высоте, а между ними сделаем тропинку из $n$ последовательно закрашенных клеток $n>0$. То есть при всех $k \geqslant 9$ задача имеет решение.

А Вы не могли бы эту тропинку нарисовать? Что-то я её плохо представляю.

-- 31.10.2013, 01:17 --

Нет! Там у одной из клеток квадрата будет три соседа.

[Urnwestek]

Ktina в сообщении #782453 писал(а):

Нет! Там у одной из клеток квадрата будет три соседа.

Да, точно.

[Xaositect]

А $0$ считается четным? :)

[Ktina]

Xaositect в сообщении #782457 писал(а):

А $0$ считается четным? :)

Думаю, да.

-- 31.10.2013, 01:26 --

Э???

-- 31.10.2013, 01:27 --

Чётное натуральное.

[Urnwestek]

Можно полый прямоугольник с одной стороной 3, а другой стороной $n$ добавить.
И так пробежать все чётные 8, 10, 12, 14...
А чтобы чётность сменить, добавить рядом вашу эту конструкцию, вот и получили для достаточно больших $k$.

Цитата:

Чётное натуральное.

А 0 считается натуральным? (:

[Someone]

Urnwestek в сообщении #782463 писал(а):

А 0 считается натуральным?

Кто как хочет. Только нужно заранее предупреждать.

[Ktina]

Urnwestek в сообщении #782463 писал(а):

Можно полый прямоугольник с одной стороной 3, а другой стороной $n$ добавить.
И так пробежать все чётные 8, 10, 12, 14...
А чтобы чётность сменить, добавить рядом вашу эту конструкцию, вот и получили для достаточно больших $k$.

Так при каком наибольшем нельзя?

[Urnwestek]

Я придумал чуть красивее конструкции, чтобы сменить чётность, достаточно "облепить" один из уголков квадрата тремя клетками, тобишь, проверять надо от 1 до 10 (с 11 и далее — уже можно).
10 можно (полый прямоугольник 3х4)
А вот 9... Если 9 можно, то, очевидно фигура будет связной и без дырок. А такие довольно просто должны перебираться из всяких там разных соображений (например, фигура должна иметь квадрат 2х2 как подмножество).

Короче ответ:
1,2,3,5,6,9 — нельзя, остальные — можно.

[Ktina]

Urnwestek в сообщении #782467 писал(а):

Я придумал чуть красивее конструкции, чтобы сменить чётность, достаточно "облепить" один из уголков квадрата тремя клетками, ...

Класс!

-- 31.10.2013, 01:58 --

Urnwestek в сообщении #782467 писал(а):

10 можно (полый прямоугольник 3х4)

Э???

[Urnwestek]

Цитата:

Э???

Ну полый же, естественно:

[Ktina]

Да, спасибо!

-- 31.10.2013, 02:07 --

Так значит, ответ будет 9?

[Urnwestek]

Цитата:

Так значит, ответ будет 9?

Ну то смотря какой вопрос был, в первом посте темы вы же вроде хотели все $k$ для которых можно так сделать найти, и ответ уже был дан:

Urnwestek в сообщении #782467 писал(а):

1,2,3,5,6,9 — нельзя, остальные — можно.

(:

Ну, конечно, я строго перебор не проводил для 9 и 6, но это дело техники, вроде как.

[Ktina]

Urnwestek
Большое спасибо!