док-во из книги ширяева по вероятности

[ecartman]

Здравствуйте, пытаюсь разобраться с док-вом одной теоремы из книги Ширяева "Вероятность-1", 4е издание. Это теорема 1, часть IV на стр 431. Утверждение этой части теоремы состоит в том, что если $\Pr_n\Rightarrow\Pr$, то $\Pr_n\stackrel{w}{\to}\Pr$. Для доказательства автор вводит множество $D=\{t\in\mathbb{R}\colon\Pr(x\colon f(x)=t)\neq0\}$, где $f(x)$ - непрерывная и ограниченная функция на $\mathbb{R}$. Откуда получается что $D$ - не более чем счетно?
Спасибо.

[--mS--]

Каждому такому $t\in D$ отвечает множество $A_t = f^{-1}(t)= \{x\, :\,f(x)=t\}$, и при разных $t$ эти множества не пересекаются и имеют положительные вероятности. Среди них не больше одной вероятности, превышающей $1/2$; не больше двух вероятностей, превышающих треть; не больше трёх, превышающих четверть и т.п. Т.е. всего таких положительных вероятностей не более, чем счётное число. Т.е. множество множеств $A_t$ не более чем счётно.

[ecartman]

А, понял, спасибо. Еще один вопросик по этому же док-ву, но чуть дальше.
Используя что $f(x)$ непрерывна и ограничена, $|f(x)|\le M$, автор разбивает отрезок $[-M,M]$ на $-M=t_0<t_1<\ldots<t_k=M$, $k\ge1$, такие что $t_i\not\in D$, и вводит множества $B_i=\{x\colon t_i\le f(x)< t_{i+1}\}$ которые обладают тем свойством что $\Pr(\partial B_i)=0$, что следует из того, что $\partial B_i\subseteq f^{-1}(t_i)\cup f^{-1}(t_{i+1})$ т.к. интервал $f^{-1}(t_i,t_{i+1})$ открыт, и что $t_i,t_{i+1}\not\in D$. Вопрос такой: почему можно выбрать $\{t_i\}_{i=0}^k$ такие что $\max_{0\le i\le k-1}(t_{i+1}-t_i)$ может быть сколь угодно малым? Это важно дальше для док-ва сходимости. Спасибо.

[--mS--]

Всё потому же: потому что множество, из которого нельзя выбирать концы, не более чем счётно.

[ecartman]

Ок, понятно, спасибо.