численное решение системы дифференциальных уравнений.

[Pallant]

Здравствуйте!

Разбираю одну задачу. Она свелась к системе дифференциальных уравнений

$$\frac{d\ln{b_p(\tau)}}{d\tau}=-\frac{\mu(\tau)+b_p(\tau)}{\mu(\tau)-b_p(\tau)},\ \ p=1,...,n,$$

$$\frac{d\ln\mu(\tau)}{d\tau}=\sum\limits_{p=1}^{n}\sigma_p\frac{\mu(\tau)+b_p(\tau)}{\mu(\tau)-b_p(\tau)},$$

с начальными условиями $b_p(\tau')=b_p^0$, $p=2,...,n-1$, $b_1(\tau')=b_2(\tau')=\mu(\tau')=\mu_0$.

Рассмотрим два уравнения из системы

$$\frac{d\ln{b_1}}{d\tau}=-\frac{\mu+b_1}{\mu-b_1},\ \text{и}\ \frac{d\ln{b_n}}{d\tau}=-\frac{\mu+b_n}{\mu-b_n},$$

с начальными условиями $b_1(\tau')=b_2(\tau')=\mu(\tau')=\mu_0$. Это фактически одно уравнение

$$\frac{d\ln{b}}{d\tau}=-\frac{\mu+b}{\mu-b}\ \no(1)$$

с начальным условием $b(\tau')=\mu(\tau')=\mu_0$. Правая часть уравнения (1) не голоморфна в точке $\tau',\mu_0$, следовательно, нельзя применить теорему Коши о единственности, т. е. если рассматривать уравнение (1) отдельно, у него может существовать более одного решения. Мне не удалось найти в литературе по диф. урам похожего уравнения (что бы правая часть бала не голоморфна в некоторой точке и в этой точке заданы начальные условия). Может ли уравнение (1) иметь более двух решений? По-видимому их количество зависит от вида правой части уравнения и от параметров в нее входящих.

Вернемся к системе. Пытаясь найти решения системы в виде рядов, получаем, что существует единственное решение $b_1(\tau),b_2(\tau),...,b_n(\tau),\mu(\tau)$ с упомянутыми начальными условиями и удовлетворяющее вблизи $\tau'$ условиям

$$|b_p|=|\mu|=1,\ \ \tau\leq\tau'$$

$$\arg\mu(\tau)<\arg{b_1(\tau)}<...<\arg{b_n(\tau)}<\arg{\mu(\tau)}+2\pi,\ \ \tau<\tau'.$$

Мне хотелось бы решить систему численно, тут возникает проблема. Численно никогда дифуры не решал. Сразу применять численные методы нельзя, так как правая часть уравнений имеет особенность в начальной точке. Что бы избавится от особенности, нужно сделать замену. (Или есть другие способы?). Полагая $\tau=\tau'-\xi^2$ ($\xi$ -- новая независимая переменная), $\mu=e^{2i\lambda}$, $b_p=e^{2i(\varphi_p+\lambda)}$, $p=1,...,n$, получаем систему

$$\frac{d\varphi_p}{d\xi}=\xi\left(\ctg\varphi_p+\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k\ctg\varphi_k\right),\ \ p=1,...,n,$$

$$\frac{d\lambda}{d\xi}=-\xi\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k\ctg\varphi_k,$$

с начальными условиями $\varphi_1(0)=\varphi_n(0)=0$, $\varphi_p(0)=-\frac{1}{2}i\ln\frac{b_p^0}{\mu^0}$, $p=2,...,n-1$, $\lambda=-\frac{1}{2}i\ln\mu^0$.

Та ли это замена? Далее загоняю полученную систему в Maple, он не выдает значений функций $\varphi_p$, $\lambda$ вблизи нуля. Как быть?