Обсудим доказательство ВТФ для n=3 в канадском журнале

[lasta]

Феликс Шмидель в сообщении #774513 писал(а):

Я прошу Вас учесть, что кроме (23), автор использует ещё и то, что $x+y$ является кубом, и другие условия.

Уважаемый Феликс Шмидель!
Согласен. Использует сумму и разность оснований не кратную 3 как кубы $h^3, g^3$. Но решение $x_0, y_0, z_0$ при неоднозначном представлении могут быть преобразованы в простые числа (например, изменением $d$ для разностей оснований) и тем будет доказана невозможность рациональных решений.

[vasili]

Уважаемый lasta! Ваши размышления в п.1 относительно не однозначного представления решений уравнения ВТФ известным трехчленом являются спорными. Это решения представляют указанный трехчлен, а не наоборот. Если существуют различные решения уравнения ВТФ (для фиксированного показателя), то мы получим различные трехчлены. При этом не исключено, что такие трехчлены будут иметь и общие делители, что и присутствует в Вашем примере.

[VERESK]

Участникам форума
Здесь приведена ссылка на статью в журнале, в которой приведено уравнение:
$z^4=y^4+x^2$
Перепишем это уравнение следующим образом:
$y^4=z^4-x^2 = (z^2)^2-x^2$ (1)
Чтобы ответить на вопрос, имеет ли это уравнение решение в целых числах, запишем следующее уравнение:
$a^n=c^2-b^2$ (2)
Уравнение (2) рассматриваем как параметрическое с параметром $a^n$ и неизвестными переменными $c, b$. Уравнение (2) запишем следующим образом:
$a^n=(c-b)(c+b)$ (3)
Пусть: $c-b=m$ (4)
Тогда: $c=b+m$ (5)
Из уравнений (3), (4) и (5) следует:
$a^n=m(b+m+b)=m(2b+m)=2bm+m^2$ (6)
Из уравнения (6) следует:
$a^n-m^2=2bm$ (7)
Из уравнения (7) следует:
$b=\frac{a^n-m^2}{2m}$ (8)
Из уравнений (5) и (8) следует:
$c=\frac{a^n+m^2}{2m}$ (9)
Из уравнений (8) и (9) следует, что необходимым условием для того чтобы числа $b, c$ были целыми, является одинаковая четность чисел $a^n$ и $m$.
Из уравнений (8) и (9) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа $b, c$ были целыми, является делимость числа $a^n$ на число $m$ , т. е. число $m$ должно быть делителем числа $a^n$.
Из уравнений (8) и (9) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа $b, c$ были целыми, число $m$ должно состоять из делителей числа $a^n$ в степени, которая не превышает их степень в составе числа $a^n$.
Из изложенного следует, что любое число $a>2$ в любой степени
равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел $c, b$. В зависимости от значения числа $m$ числа $c, b$ могут быть и взаимно простыми и не взаимно простыми.
Из уравнения (9) также следует, что если показатель степени $n=4$, то число $c$ не может равно другому числу в степени $n=2$:
$c \ne c_0^2$
Таким образом, решая уравнение:
$y^4= (z^2)^2-x^2$
по изложенной методике, мы получим:
$z\ne z_0^2$
Таким образом, уравнение:
$y^4=z^4-x^2 \ne(z_0^2)^2 -x^2$
при любом значении числа $y$ не имеет решения в целых числах. Следовательно, и уравнение:
$z^4=y^4+x^2$
также не имеет решения в целых числах.

[venco]

VERESK в сообщении #780478 писал(а):

Из уравнения (9) также следует, что если показатель степени $n=4$, то число $c$ не может равно другому числу в степени $n=2$

Можете поподробнее расписать этот вывод?

[Belfegor]

VERESK в сообщении #780478 писал(а):

Из изложенного следует, что любое число $a>2$ в любой степени
равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел $c, b$. В зависимости от значения числа $m$ числа $c, b$ могут быть и взаимно простыми и не взаимно простыми.

Уважаемый VERESK!
Это вывод выражения (2)?
А если вот так попроще:
Для нечетных чисел:
$x^n=2b+1=b+b+1=(b+1-b)(b+1+b)=(c-b)(c+b)=c^2-b^2$

Для четных чисел:
$x^n=4b+4=2(2b+2)=(b+2-b)(b+2+b)=(c-b)(c+b)=c^2-b^2$

[lasta]

VERESK в сообщении #780478 писал(а):

Уравнение (2) рассматриваем как параметрическое с параметром $a^n$ и неизвестными переменными $c, b$. Уравнение (2) запишем следующим образом:
$a^n=(c-b)(c+b)$ (3)

Уважаемый VERESK!
Из этого уравнения сразу же видно, что $(c-b), (c+b)$ являются делителями $a^n$ и что эти числа не являются взаимно простыми, так как уравнение в остатках при делении чисел $c, b$ на $a$ имеет вид
$0=(r_c-r_b)(r_c+r_b)$, значит одна из скобок (3) должна делится на $a$, следовательно делится на $a$ и другая скобка.
В уравнении (3) $c$ не определено квадратом, поэтому вывод, что $c$ не квадрат не является противоречием для (3). Поясните какому другому числу в степени $n=2$: $c$ не может быть равно.

[Belfegor]

lasta в сообщении #780693 писал(а):

Из этого уравнения сразу же видно, что $(c-b), (c+b)$ являются делителями $a^n$ и что эти числа не являются взаимно простыми

Уважаемый lasta!
Вроде бы речь шла о взаимной простоте чисел $(c, b)$.

[lasta]

Belfegor в сообщении #780725 писал(а):

Вроде бы речь шла о взаимной простоте чисел $(c, b)$.

Уважаемый Belfegor!
Согласен, но их взаимная простата как указывает VERESK зависит от $m=c-b$. Хотя мое утверждение не совсем точно. $c-b, c+b$ могут быть и взаимно простыми.

[Belfegor]

lasta в сообщении #780789 писал(а):

Согласен, но их взаимная простата как указывает VERESK зависит от $m=c-b$. Хотя мое утверждение не совсем точно. $c-b, c+b$ могут быть и взаимно простыми.

Уважаемый lasta!
Конечно, например:
$15^3=1688^2-1687^2$

$15^3=76^2-49^2=(76-49)\cdot(76+49)=27\cdot125=3^3\cdot5^3 $

[VERESK]

Уважаемый lasta,
Скобка $(c+b)$ всегда делится на $a$
Скобка $(c-b)$ может делиться на $a$ и может не делится в зависимости от значений чисел $a, m$.

Уважаемый venco,
Привожу один из множества возможных примеров:
$a=drfs$, $m=d^3r$
$c=\frac{(drfs)^4+(d^3r)^2}{2d^3r}$
Вынеся в числителе за скобки $d^4r^2$ и произведя преобразования, получим:
$c=\frac{dr(r^2f^4s^4 +d^2)}{2}$
Вариант $c=c_0^2$ не просматривается.
Для числа $b$:
$b=\frac{dr(r^2f^4s^4 -d^2)}{2}$
Тот же результат.

[venco]

VERESK, вы поняли мой вопрос?

[Belfegor]

VERESK в сообщении #780478 писал(а):

Из уравнений (8) и (9) следует, что необходимым условием для того чтобы числа $b, c$ были целыми, является одинаковая четность чисел $a^n$ и $m$.

Уважаемый VERESK!
Вы уверены?

VERESK в сообщении #781233 писал(а):

$c=\frac{dr(r^2f^4s^4 +d^2)}{2}$

Вот из вашего же примера видно, что чётность определяется слагаемым с наименьшей четностью, большая четность второго слагаемого не играет роли.

[VERESK]

Уважаемый Belfegor,
я привел пример, иллюстрирующий, что: $c\ne c_0^2$.
Если производить расчеты по приведенным мною формулам (8), (9), выполняя изложенные в моем исходном сообщении условия, то числа $b, c$ всегда будут целыми.
Если число $a$ четное, то в зависимости от того, каким является
его четный делитель $(2, 4, 8,...) $ и каким принимается число $m$, числа $b,c $ будут как четными, так и нечетными. При этом всегда имеется тройка взаимно простых чисел $a, b, c$.
Если число $a$ нечетное, то всегда $b$ четное число,
$c$ нечетное число.
В этом легко убедиться, выполнив пару-тройку простых расчетов.

[Belfegor]

Уважаемый VERESK!
Понятно, но повторюсь, меня интересовало ваше утверждение:

VERESK в сообщении #780478 писал(а):

является одинаковая четность чисел $a^n$ и $m$.

[VERESK]

Уважаемый Belfegor,
если Вы внимательно посмотрите на формулы (8), (9), то должны
обратить внимание, что в знаменателе стоит $2$.
Если числа $a^n, m$ будут иметь разную четность,
то числа $b, c$ будут дробными, что противоречит
условиям решения исходного уравнения.