Свойство непрерывной на отрезке функции.

[gris]

Доказать, что для функции, непрерывной на отрезке и не постоянной ни на одном интервале, количество нулей не более, чем счётно.
Каждую ненулевую точку можно окружить ненулевым интервалом. Нули могут находиться только на границах интервалов. Количество интервалов счётно.

[SpBTimes]

Только, наверное, окружать нужно точки на оси $Ox$, но по тому правилу, что вы предложили

[gris]

Да, конечно, на оси аргумента. Но не-нулей континуум и интервалов получается континуум. Как бы сделать их непересекающимися, чтобы доказать счётность.

[provincialka]

Что-то здесь не то. Вы не используете условие непостоянства.

-- 28.10.2013, 08:53 --

Может, использовать то, что множество нулей непрерывной функции замкнуто (это так?)

[gris]

Для непрерывной на отрезке замкнуто. Но, кажется, что свойство верно и для функций на интервале и на всей прямой.

[Nemiroff]

gris в сообщении #781163 писал(а):

Но не-нулей континуум и интервалов получается континуум. Как бы сделать их непересекающимися, чтобы доказать счётность.

А нельзя просто окружить наибольшим возможным интервалом, а потом сказать, что на нём есть рациональное число?

[Someone]

gris в сообщении #781154 писал(а):

Доказать, что для функции, непрерывной на отрезке и не постоянной ни на одном интервале, количество нулей не более, чем счётно.

Это неверное утверждение, так что доказать его нельзя.

[gris]

Надо построить систему непересекающихся интервалов, которые накрывают все не-нули. Как-то уныло и не получается.
Вот и я думаю, что можно контрпример придумать, но чего-то сегодня (если бы только сегодня ) увы. Множество нулей должно быть не всюду плонтно и несчётно. Канторово? Блин, туплю со страшной силой

[Mitry]

gris в сообщении #781154 писал(а):

Доказать, что для функции, непрерывной на отрезке и не постоянной ни на одном интервале, количество нулей не более, чем счётно.
Каждую ненулевую точку можно окружить ненулевым интервалом. Нули могут находиться только на границах интервалов. Количество интервалов счётно.

Может, попробовать так:
Для каждого нуля можно выделить окрестность, не содержащую других нулей.
Для каждой точки, где функция не равна нулю, можно выделить окрестность, ни в одной из точек которой функция не равна нулю
Эти интервалы образуют открытое покрытие отрезка, а так как отрезок компактен, из них можно выделить конечное число интервалов, объединение которых покрывает отрезок

[Nemiroff]

gris в сообщении #781185 писал(а):

Надо построить систему непересекающихся интервалов, которые накрывают все не-нули. Как-то уныло и не получается.

М-м-м.
Пусть $x\sim y \Leftrightarrow \forall z\in[\min\{x,y\},\max\{x,y\}]: f(z)\neq0$. Классами эквивалентности получаются интервалы, потому что $f$ непрерывна.
Ну вот, а на каждом интервале есть рациональное число.
Получаем, что число интервалов, на котором функция не равна нулю, не более, чем счётно. Большего, добиться не удастся - любое замкнутое множество может быть множеством нулей непрерывной функции.

[gris]

Mitry Второе утверждение верно, а первое нет. Нули могут иметь предельную точку. Ну типа бесконечная убывающая по модулю осцилляция.

-- Пн окт 28, 2013 10:54:08 --

Nemiroff, ну вот типа такого что-то представлялось. Что каждую не-нулевую точку можно окружить "не-нулевой" окрестностью, а потом её максимально раздуть. Теперь эти окрестности не будут пересекаться и их счётное число. А нулями будут граничные точки. Но вот как-то сомнительно.

[Nemiroff]

Но это немного не то, что вы просили.
Someone прав - изначальное утверждение просто неверно, можно построить функцию, нулевую на канторовом множестве, к примеру.
Но ненулевых интервалов, кажется, и правда счётно. По крайней мере, я не вижу ошибки.

[gris]

Хочется построить непрерывную функцию, равную нулю на канторовом множестве и не равную нулю вне его. Через равномерно сходящуюся последовательность?

-- Пн окт 28, 2013 11:01:01 --

:-)

[ewert]

Тупо накрыв ненулевой шапочкой каждый из дополняющих интервалов. Тем более что эти интервалы строятся констрктивно (хотя в этом и нет необходимости).

[Nemiroff]

Ну да. Только надо так подобрать функции в последовательности, чтобы всё равномерно сходилось. Неохота думать. Можно погуглить.

-- Пн окт 28, 2013 11:10:25 --

ewert в сообщении #781199 писал(а):

Тупо накрыв ненулевой шапочкой каждый из дополняющих интервалов.

Ну не любая же шапка обеспечит равномерную сходимость.