Предел последовательности

[bot]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #780336 писал(а):

Буквосочетание $\exists N = N(\varepsilon) $

Прям коробит от этой обязательной "зависимости". У всякого человека есть отец. Вряд ли кому придёт в голову добавить, что этот отец, вообще говоря, зависит от того, какого человека мы рассматриваем.
По поводу +1. Очевидно без разницы начиная с какого-нибудь или после него, а также целое это N "зависящее от эпсилон" или не целое и даже, о боже, вдруг оно после вычислений отрицательным окажется!
Что-то эти тривиальные нюэнсы у первокуров стали высшим пилотажем.

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #780365 писал(а):

Вряд ли кому придёт в голову добавить, что этот отец, вообще говоря, зависит от того, какого человека мы рассматриваем.

На самом деле это важно оговаривать, поскольку далеко не всегда это бросается в глаза. Сравните, к примеру, определения просто непрерывности и равномерной непрерывности. Просто эти оговорки неуместны в именно определении.

[provincialka]

(Оффтоп)

наверное, между непрерывностью и равномерной непрерывностью такая же разница, как между"отцом" и "отцом народа".

[ewert]

(Оффтоп)

Ещё по поводу целочисленности. Она невыгодна ещё и потому, что предел последовательности -- это, вообще-то говоря, частный случай предела функции. Впрочем, эту добивку можно сделать и позже.

[provincialka]

ewert в сообщении #780385 писал(а):

(Оффтоп)

Ещё по поводу целочисленности. Она невыгодна ещё и потому, что предел последовательности -- это, вообще-то говоря, частный случай предела функции. Впрочем, эту добивку можно сделать и позже.

(Оффтоп)

я, например, сначала даю предел функции и только потом, если есть время - последовательности. По сути в теории нужна только последовательность, задающая число $e$.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #780389 писал(а):

По сути в теории нужна только последовательность, задающая число $e$.

Совершенно наоборот -- как раз "е" для теории никакого принципиального значения не имеет. А вот привычка к последовательностям вообще -- принципиальна весьма. Всякие там теоремы Вейерштрасса, Кантора и т.д., не говоря уж о последующем (возможно) выходе в функциональный анализ или численные методы.

[ex-math]

(Оффтоп)

ewert
Даже в этих теоремах удается обойтись без понятия предела последовательности, хотя и несколько искусственно выходит, особенно Кантор. Но поскольку часы жестоко срезали за последние пару лет -- приходится выкручиваться.

[ewert]

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #780397 писал(а):

Даже в этих теоремах удается обойтись без понятия предела последовательности, хотя и несколько искусственно выходит,

Раз "искуственно" -- значит, не выходит. Там принцип компактности, который самоценен сам по себе, а не только ради этих теорем.

[provincialka]

(Оффтоп)

Да, доказывать иногда труднее. Но если читаешь не чистым математикам, можно что-то и опустить, сослаться на учебник. Последовательности нужны, скорее, при переходе к рядам. А принцип компактности можно и через окрестности задавать. Впрочем, когда часов мало - не до жиру. Что-то приходится сокращать.

[ex-math]

(Оффтоп)

Кому я читаю -- не до принципа компактности. Им бы непрерывную функцию проинтегрировать. Если бы не интеграл, теорема Кантора тоже была бы истреблена.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #780403 писал(а):

А принцип компактности можно и через окрестности задавать.

Вычислительно невыгодно -- с вычислительной точки зрения идеен именно секвенциальный вариант.

[gefest_md]

Читаю в одном местном школьном учебнике

Цитата:

Теорема Архимеда
Для любого $x\in\mathbb{R}$ существует единственное целое число $n$ такое, что $n\leqslant x<n+1.$
Число $n$ называется целой частью числа $x$ и обозначается $[x].$

Смотрю у Кудрявцева.

Цитата:

Теорема 2. Каково бы ни было действительное число $a,$ существует такое натуральное число $n,$ что $n>a.$

По-моему так лучше. Доказываю, что $\frac{1}{4\varepsilon}+\frac12\in\mathbb{R}$ и по этой теореме выбираю натуральное $N>\frac{1}{4\varepsilon}+\frac12.$ (В общем случае, вещественное число и его целая часть могут быть и отрицательными.)

[ewert]

gefest_md в сообщении #781093 писал(а):

По-моему так лучше.

По-моему -- и так, и так хуже. Ибо Архимеда -- она не теорема, а аксиома. И то, что она следует из каких-то вариантов аксиомы полноты, ничего не меняет. Поскольку из более рафинированных она всё-таки не следует.