Бесконечно малые/бесконечно большие функции

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Возникли трудности с такой задачкой:

Есть две функции:

$$f(x)=\sqrt{x} \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) $$

$$g(x)=\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}$$

$$x \to \infty$$

Для них нужно:

1) Показать, что данные функции $f$ и $g$ являются бесконечно малыми или бесконечно большими при указанном стремлении аргумента.

Тут вроде все просто:

$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{x} \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) = ... = 0 \Rightarrow f(x)=\sqrt{x} \sin \left ( \frac{1}{x} \right )$ -- бесконечно малая функция, при $x \to \infty$

$\lim\limits_{x \to \infty} ( \sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}) = ... = 0 \Rightarrow g(x)=\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}$ -- бесконечно малая функция, при $x \to \infty$


2) Для каждой функции $f$ и $g$ записать главную часть (эквивалентную ей функцию) вида $C (x-x_{0})^{\alpha}$ при $x \to x_{0}$ или $C x^{\alpha}$ при $x \to \infty$, указать их порядки малости (роста).

Представим $f(x)$ в виде:

$$f(x)= \frac{x}{\sqrt{x}} \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) = x^{-1/2} \cdot x \sin \left ( \frac{1}{x} \right )$$

Если $C(x) = x \sin \left ( \frac{1}{x} \right )$, то $\lim\limits_{x \to \infty} C(x) = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( x \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) \right ) = 1$, поэтому $f(x) = 1 \cdot x^{-1/2} + o(x^{-1/2}) = \left ( \frac{1}{x} \right )^{\frac{1}{2}} + o \left ( \left ( \frac{1}{x} \right )^{\frac{1}{2}} \right ) $

Тогда $\left ( \frac{1}{x} \right )^{\frac{1}{2}}$ -- главная часть $f(x)$, $k=\frac{1}{2}$ -- порядок малости $f(x)$ при $x \to \infty$ по сравнению с $\frac{1}{x}$.


Представим $g(x)$ в виде:

$$g(x)=\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1} = ... = x^{-3/2} \cdot x^{3} \cdot \left ( \sqrt{1+\frac{1}{x^3}} - \sqrt{1-\frac{1}{x^3}} \right )$$

Если $C(x) = x^{3} \cdot \left ( \sqrt{1+\frac{1}{x^3}} - \sqrt{1-\frac{1}{x^3}} \right )$, то $\lim\limits_{x \to \infty} C(x) = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( x^{3} \cdot \left ( \sqrt{1+\frac{1}{x^3}} - \sqrt{1-\frac{1}{x^3}} \right ) \right ) = 1$, поэтому $g(x) = 1 \cdot x^{-3/2} + o(x^{-3/2}) = \left ( \frac{1}{x} \right )^{\frac{3}{2}} + o \left ( \left ( \frac{1}{x} \right )^{\frac{3}{2}} \right ) $

Тогда $\left ( \frac{1}{x} \right )^{\frac{3}{2}}$ -- главная часть $g(x)$, $k=\frac{3}{2}$ -- порядок малости $g(x)$ при $x \to \infty$ по сравнению с $\frac{1}{x}$.


3) Сравнить $f$ и $g$.

$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} \sin \left ( \frac{1}{x} \right )}{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}} = ... = \infty $$

Следовательно, функция $f(x)=\sqrt{x} \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) $ является бесконечно малой низшего более высокого порядка по сравнению с $g(x)=\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}$$ при $x \to \infty$ (но порядок малости $f(x)$ -- $k=\frac{1}{2}$, а порядок малости $g(x)$ -- $k=\frac{3}{2}$ - что-то здесь не так...)


Буду очень признателен, если кто-нибудь просмотрит мои мысли, может где ошибся (особенно интересен пункт номер 2).

[Someone]

Limit79 в сообщении #780273 писал(а):

что-то здесь не так

Определение как-то не так прочли...

[Limit79]

Someone
Чем ближе порядок малости к $0$, тем он больше?

Цитата:

Следовательно, функция $f(x)=\sqrt{x} \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) $ является бесконечно малой низшего более высокого порядка по сравнению с $g(x)=\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}$$ при $x \to \infty$ (но порядок малости $f(x)$ -- $k=\frac{1}{2}$, а порядок малости $g(x)$ -- $k=\frac{3}{2}$ - что-то здесь не так...)

?

[Someone]

Определение. Говорят, что б. м. функция $\alpha(x)$ имеет более высокий порядок малости при $x\to a$, чем б. м. функция $\beta(x)$ (записывается как $\alpha(x)=o(\beta(x))$ при $x\to a$), если $\lim\limits_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$.

Сравните это со своим пунктом 3).

[Limit79]

Someone
Спасибо, исправил!

[Limit79]

А при вычислении предела:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} \sin \left ( \frac{1}{x} \right )}{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}}$$

Можно ли пользоваться теми эквивалентностями, которые мы получили в пункте 2?

То есть:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} \sin \left ( \frac{1}{x} \right )}{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ \left ( \frac{1}{x} \right ) ^{\frac{1}{2}}}{ \left ( \frac{1}{x} \right ) ^{\frac{3}{2}}} = \lim\limits_{x \to \infty} \left ( \frac{1}{x} \right ) ^{-1} = \lim\limits_{x \to \infty} (x) = \infty$$

[ewert]

Limit79 в сообщении #780460 писал(а):

Можно ли пользоваться теми эквивалентностями, которые мы получили в пункте 2?

Можно, только там мы их получили как-то безумно долго. Синус надо тупо заменить на эквивалентную ему одну иксовую, а знаменатель домножить и разделить на сопряжённое (на сумму корней).

[Limit79]

ewert
Понял, спасибо!

-- 26.10.2013, 17:31 --

Да и вообще, по идее, если мы уже нашли порядки малости, то просто можно же непосредственно их и сравнить