Уравнение точки

[Aden]

Помогите с решешением задачи.
Написать уравнение и начертить траекторию точки, одновременно участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих согласно уравнениям $\[x = 3 \cdot \sin (10\pi t) \]$ и $\[x = 2 \cdot \cos (5\pi t) \]$.

$\[ x^2 + (2y)^2 = \left( {3 \cdot \sin (10\pi t)} \right)^2 + \left( {2 \cdot \cos (5\pi t)} \right)^2 = 9\sin ^2 10\pi t + 4\cos ^2 5\pi t \]$
А вот как дальше, зашел в тупик.

[provincialka]

А зачем на 2 умножали? Уж лучше $x$ на 2, а $y$ - на 3. А еще вспомните синус двойного угла.

[Aden]

$ \begin{gathered} (2x)^2 + (3y)^2 = 6\sin ^2 (10\pi t) + 6\cos ^2 (5\pi t) = \hfill \\ = 24\sin ^2 (5\pi t) \cdot \cos ^2 (5\pi t) + 6\cos ^2 (5\pi t) = \hfill \\ = 6\cos ^2 (5\pi t) \cdot (4\sin ^2 (5\pi t) + 1) \hfill \\ \end{gathered} \] $
все равно что-то не то получается

[nestoronij]

Для целенаправленности Ваших действий: уравнение траектории получите, если освободитесь от времени.

[provincialka]

Лучше выразите синус и косинус через координаты и примените синус двойного угла. Но уравнение получится 4 порядка.

А строить график лучше поточечно: придавайте углу $\varphi=5\pi t$ табличные значения и считайте $x$ и $y$.

-- 25.10.2013, 20:46 --

Посмотрите еще фигуры Лиссажу

[nestoronij]

provincialka в сообщении #780163 писал(а):

Посмотрите еще фигуры Лиссажу

А зачем смотреть? Их надо получить. Получается биквадратное уравнение, решается, и уж потом фигуры.

[provincialka]

Сложно. Параметрическое задание кривой нисколько не хуже явного. По точкам получается очень быстро.

[Aden]

А как в данном случае освободиться от времни ?

[provincialka]

Вы мои советы читали? Разложите синус и подставьте вместо косинуса $y/2$.

[miflin]

nestoronij в сообщении #780180 писал(а):

Получается биквадратное уравнение, решается, и уж потом фигуры.

Зачем его решать? Если $y$ принять за независимую переменную, то $x$ уже выражен.

[nestoronij]

miflin в сообщении #780188 писал(а):

nestoronij в сообщении #780180 писал(а):

Получается биквадратное уравнение, решается, и уж потом фигуры.

Зачем его решать? Если $y$ принять за независимую переменную, то $x$ уже выражен.

Решать, хотел получить каноническое ур-ие Y(x). "Счас" проверю.

(Оффтоп)

ой какой знакомый аватар...???

[miflin]

nestoronij в сообщении #780235 писал(а):

хотел получить каноническое ур-ие Y(x)

А чем оно лучше X(y)?
График - сплюснутая восьмерка с пересечением в начале координат.

[provincialka]

nestoronij в сообщении #780235 писал(а):

Решать, хотел получить каноническое ур-ие Y(x).

Вы знаете канонические уравнения кривых 4 порядка?

Кстати, стоит изменить частоты колебаний по осям и уже 4-ой степенью не обойдешься.

[Aden]

$ \[ \begin{gathered} (2x)^2 + (3y)^2 = 6 \cdot \cos ^2 (5\pi t) \cdot [4\sin ^2 (5\pi t) + 1] = \hfill \\ = 6 \cdot \cos ^2 (5\pi t) \cdot [4 \cdot (1 - \cos ^2 (5\pi t)) + 1] = \hfill \\ = 6 \cdot \cos ^2 (5\pi t) \cdot [4 \cdot \cos ^2 (5\pi t) + 1]. \hfill \\ \cos (5\pi t) = \frac{y} {2}; \hfill \\ (2x)^2 + (3y)^2 = \frac{{3y^2 }} {2} \cdot (y^2 + 1) = \frac{{3y^4 }} {2} + \frac{{3y^2 }} {2}; \hfill \\ 4x^2 + 9y^2 = \frac{{3y^4 }} {2} + \frac{{3y^2 }} {2}; \hfill \\ 3y^4 - 6y^2 - 8x^2 = 0; \hfill \\ \end{gathered} \] $
Так ?

[provincialka]

У меня получилось другие коэффициенты.