Предел последовательности

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Прощу помощи по следующей задачке: Доказать, что $\lim\limits_{n \to \infty} \left ( \frac{n-1}{1-2n} \right ) = - \frac{1}{2}$, определив для каждого $\varepsilon > 0$ число $N=N( \varepsilon )$. Найти $N(0.1)$, $N(0.01)$ и $N(0.001)$.

По определению, число $ - \frac{1}{2}$ будет пределом последовательности $x_{n} = \frac{n-1}{1-2n}, n \in \mathbb N$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется натуральное число $N$, такое, что для всех $n>N$ выполняется неравенство $\left | \frac{n-1}{1-2n} + \frac{1}{2} \right | < \varepsilon $.

Упрощаем неравенство, получаем:

$$n > \frac{1}{4 \varepsilon} + \frac{1}{2}$$

$n>N = \left [ \frac{1}{4 \varepsilon} + \frac{1}{2} \right ]$

Примем $N = \left [ \frac{1}{4 \varepsilon} + \frac{1}{2} \right ] + 1$

Итак, для любого $\varepsilon > 0$ указано соответствующее значение $N$. Это и доказывает, что $\lim\limits_{n \to \infty} \left ( \frac{n-1}{1-2n} \right ) = - \frac{1}{2}$.

$N(0.1) = \left [ \frac{1}{0.4} + \frac{1}{2} \right ] + 1 = 4$

$N(0.01) = \left [ \frac{1}{0.04} + \frac{1}{2} \right ] + 1 = 26$

$N(0.001) = \left [ \frac{1}{0.004} + \frac{1}{2} \right ] + 1 = 251$


Сделал данный пример по образцу из книги. У меня возник вопрос, сначала мы пишем:

$$n>N = \left [ \frac{1}{4 \varepsilon} + \frac{1}{2} \right ]$$

А потом добавляем единицу:

$$N = \left [ \frac{1}{4 \varepsilon} + \frac{1}{2} \right ] + 1$$

Собственно вопрос: а зачем мы добавляем единицу, и правомерно ли это?

Мои мысли таковы: для некоторых $\varepsilon$ выражение $N = \left [ \frac{1}{4 \varepsilon} + \frac{1}{2} \right ] $ может быть равно нулю, но $N$ - натуральное число, вот поэтому мы и добавляем единицу.

Верно ли мое предположение, и верно ли в целом решение?

Заранее спасибо за помощь!

[arseniiv]

Limit79 в сообщении #780135 писал(а):

Мои мысли таковы: для некоторых $\varepsilon$ выражение $N = \left [ \frac{1}{4 \varepsilon} + \frac{1}{2} \right ] $ может быть равно нулю, но $N$ - натуральное число, вот поэтому мы и добавляем единицу.

(1) Иногда натуральные числа начинают с нуля.
(2) В принципе, можно хоть тысячу добавлять, ведь $n>N+1000 \Rightarrow n>N$.

[Limit79]

arseniiv в сообщении #780136 писал(а):

Иногда натуральные числа начинают с нуля.

А там прибавили единицу исходя из этого соображения?

-- 25.10.2013, 20:31 --

Точнее наоборот, исходя из того, что натуральные числа начинаются с единицы.

[arseniiv]

Тут да, скорее всего, единица действительно из-за начинания натуральных чисел с единицы добавляется, но вот никакого обоснования того, что это должна быть единица, но не двойка и т. д., не видно. Если бы решение неравенства для $n$ имело непонятно через $\varepsilon$ выражающуюся нижнюю грань $w$, легче было бы оценить её сверху как угодно грубо, а не искать наименьшее натуральное число, большее $w$ — на это может уйти уйма времени.

[Limit79]

arseniiv в сообщении #780140 писал(а):

Если бы решение неравенства для $n$ имело непонятно через $\varepsilon$ выражающуюся нижнюю грань $w$, легче было бы оценить её сверху как угодно грубо

Я это много где читал, но так и не могу понять

[Otta]

Limit79 в сообщении #780135 писал(а):

Собственно вопрос: а зачем мы добавляем единицу, и правомерно ли это?

Вам нужно показать, что $\forall\varepsilon>0 \; \exists N\in\mathbb{N}\; \forall n>N$ выполнено нужное неравенство. Вы нашли значения $n$ (пусть не все, раз использовались оценки, то есть последнее неравенство не эквивалентно исходному), при которых исходное неравенство заведомо верно. Положим, получилось, что заведомо верно оно при $n>w(\varepsilon)$.

Если бы $w(\varepsilon)$ было всегда натуральным, то никаких проблем, взяли бы именно его в качестве искомого $N$. Но нам никто не обещал, что оно натурально. Казалось бы, для положительного $w(\varepsilon)$ наиболее естественно - взять в качестве $N$ его целую часть. Однако, что при $n>w(\varepsilon)$ неравенство верно, мы доказали, а что оно верно в (возможно) большем диапазоне $n>N=[w(\varepsilon)]$, нам никто не обещал. Поэтому, чтобы обезопасить себя от неожиданных неприятностей, мы, наоборот, сузим диапазон, взяв в качестве $N$ любое натуральное число, большее $w(\varepsilon)$. Например, $N=[w(\varepsilon)]+1$. Или плюс 100, неважно. Если $n$ больше такого $N$, то оно тем более больше $w(\varepsilon)$, а значит, неравенство выполнено.

[Limit79]

Otta
Понял. Огромное спасибо!

[SpBTimes]

Otta в сообщении #780152 писал(а):

Поэтому, чтобы обезопасить себя от неожиданных неприятностей,

Не андэстэнд. Везде априори считаем, что $n \in \mathbb{N}$.
А какие неприятности могут быть? Пусть $w(\varepsilon) \in \mathbb{N}$, тогда $[w(\varepsilon)] = w(\varepsilon)$ и $n > w(\varepsilon)$ равносильно $n > [w(\varepsilon)]$.
Пусть теперь $w(\varepsilon) \overline{\in} \mathbb{N}$. Т. e $k < w(\varepsilon) < (k+1)$, $k \in \mathbb{N}$. Неравенство $n > w(\varepsilon)$ означает, что $n \geqslant (k + 1)$, что равносильно $n > [w(\varepsilon)]$.

[iifat]

Это из-за, в общем-то, глупости в определении предела. Там зачем-то написали "существует натуральное $N_\varepsilon$". Приходится вот так вот извращаться

[SpBTimes]

Нет-нет, тут-то глупости никакой нет. Я говорил про то, что единичку к целой части прибавлять, в общем-то, не нужно (хотя, конечно, можно). А за этот $N_{\varepsilon}$ можно принять $[w(\varepsilon)]$

[Otta]

SpBTimes
Правы Вы, правы. Эта древняя традиция с плюсованием единицы уходит корнями в двоякость написания определения предела последовательности. Часто вместо $n>N$ пишут $n\ge N$. Вышеприведенное мое рассуждение необходимо, конечно, для этого случая. А учат, по инерции, в обоих одинаково, чтобы уж наверняка не ошиблись с выбором $N$ ни там, ни там. В случае строгого неравенства это плюсование единицы, скорее, дань традиции, чем необходимость. Или попытка алгоритмизации, черт ее знает.

[ewert]

iifat в сообщении #780307 писал(а):

Это из-за, в общем-то, глупости в определении предела. Там зачем-то написали "существует натуральное $N_\varepsilon$".

Там -- это где? Вовсе не обязательно этого писать.

[SpBTimes]

Otta
Ааа, понял. Да, и такое встречалось же, а я и запамятовал. В случае $\geqslant$, конечно, ваши рассуждения необходимы. Но тут главное объяснить, что происходит, а если человек понял, то он и прибавит там, где надо :_)

[iifat]

ewert в сообщении #780312 писал(а):

Там -- это где?

Ну, вот, например:$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a ~ \Leftrightarrow ~ \forall \varepsilon > 0 ~ \exists N = N(\varepsilon) ~ \forall n \geqslant N \colon |x_n - a| < \varepsilon$Понятно, что указание действительной границы ничего не изменит. Просто традиция, думаю.

[ewert]

iifat в сообщении #780325 писал(а):

Понятно, что указание действительной границы ничего не изменит.

Понятно и то, что добавка словечка "натуральное" здесь формально требуется -- формально его здесь нет. Ну и не надо; это лишь ловля блох.

-- Сб окт 26, 2013 13:01:47 --

А, ещё. Буквосочетание $\exists N = N(\varepsilon) $ не вполне прилично в определении. В комментариях к определению оно вполне уместно и даже необходимо, но в самом определении -- ни разу.