2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти биективное отображение
Сообщение25.10.2013, 13:17 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Доброго дня!
Задача из книги Верещагина
Укажите взаимно однозначное соответствие между множеством
$[0,1]\cup[2,3]\cup[4,5]\cup...$
и отрезком $[0,1]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти биективное отображение
Сообщение25.10.2013, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Вначале надо научиться строить биекцию между произвольными интервалами — замкнутыми, полуоткрытыми, открытыми.
А потом легко. Разбиваем отрезок на счётное число интервалов и вперёд.
Да можно и проще. Разбить отрезок на счётное число отрезков и концы их выделить в множество концов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти биективное отображение
Сообщение25.10.2013, 13:24 
Аватара пользователя


05/04/13
580
gris
Все понятно, количество интервалов будет счетным, но бесконечным, и какой нибудь интервал превратится в точку, а ему биекцию не отрезок не составить

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти биективное отображение
Сообщение25.10.2013, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ну если умеете строить биекцию между полуинтервалом и отрезком, то берём первый интервал и биектируем его с первым отрезком объединения. Потом второй интервал со вторым отрезком объединения и так далее. Там может возникнуть проблемка с одной точкой (предельной), но её легко прицепить к какому-нибудь интервалу.
Конечно, формулой трудно это задать, но при желании можно и формулами.
Интервал в точку никак не может обратиться. Даже если он станет меньше эпсилон.
Хотя в Ваших словах можно найти смысл. Вот ту предельную точку я и имел в виду (если она одна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти биективное отображение
Сообщение25.10.2013, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Как может интервал превратиться в точку? :shock:

-- 25.10.2013, 13:35 --

Мне больше понравился второй способ, предложенныйgris. В первом множестве выделяем точки $0, 1,2,3,...$, во втором - $0,1,1/2,1/4,1/8,...$ и их "приводим в соответствие". Что остается там и там?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти биективное отображение
Сообщение25.10.2013, 13:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
TelmanStud в сообщении #780011 писал(а):
какой нибудь интервал будет всего лишь точка, а ему биекцию не составить

Что значит "не составишь"? Это ведь ровно тот же вопрос, что и о биекции между замкнутым и полуоткрытым промежутками.

Нехорошая задача: красивой конструкции в любом случае не выйдет, т.к. множества топологически неэквивалентны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти биективное отображение
Сообщение25.10.2013, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Сейчас ТС Вам представит красивейшую конструкцию. Хотя эстетические предпочтения могут разниться. Надеюсь, вы не считаете красивыми исключительно непрерывные отображения?
Ой, уже мудрейшая особа привела пример, красотой соперничающий с ... <затыкаю фонтан>

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти биективное отображение
Сообщение25.10.2013, 13:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Не считаю, но здесь какое-нибудь занудство в любом случае выползет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти биективное отображение
Сообщение25.10.2013, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Промелькнуло сообщение ТС. Совершенно правильное. Осталось только свести концы с концами и всё ОК.
Но вот что интересно. Уважаемая provincialka взяла в качестве разбиения точки, значения которых образуют геометрическую прогрессию, то есть ряд из них сходится. А мы с ТС не сговариваясь взяли члены гармонического ряда, который расходится. Что-то в этом есть...

Вот что ещё подумалось. А что если попробовать построить биекцию только с помощью параллельных сдвигов частей разбиения. Ну некая вариация на тему Б-Т. Конечно, если разбить отрезок на отдельные точки, то всё прекрасно получается. А вот если потребовать, чтобы число частей было бы счётным? Или чтобы каждая часть содержала более одной точки?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group