Найти биективное отображение

[TelmanStud]

Доброго дня!
Задача из книги Верещагина
Укажите взаимно однозначное соответствие между множеством
$[0,1]\cup[2,3]\cup[4,5]\cup...$
и отрезком $[0,1]$

[gris]

Вначале надо научиться строить биекцию между произвольными интервалами — замкнутыми, полуоткрытыми, открытыми.
А потом легко. Разбиваем отрезок на счётное число интервалов и вперёд.
Да можно и проще. Разбить отрезок на счётное число отрезков и концы их выделить в множество концов.

[TelmanStud]

gris
Все понятно, количество интервалов будет счетным, но бесконечным, и какой нибудь интервал превратится в точку, а ему биекцию не отрезок не составить

[gris]

Ну если умеете строить биекцию между полуинтервалом и отрезком, то берём первый интервал и биектируем его с первым отрезком объединения. Потом второй интервал со вторым отрезком объединения и так далее. Там может возникнуть проблемка с одной точкой (предельной), но её легко прицепить к какому-нибудь интервалу.
Конечно, формулой трудно это задать, но при желании можно и формулами.
Интервал в точку никак не может обратиться. Даже если он станет меньше эпсилон.
Хотя в Ваших словах можно найти смысл. Вот ту предельную точку я и имел в виду (если она одна).

[provincialka]

Как может интервал превратиться в точку?

-- 25.10.2013, 13:35 --

Мне больше понравился второй способ, предложенныйgris. В первом множестве выделяем точки $0, 1,2,3,...$, во втором - $0,1,1/2,1/4,1/8,...$ и их "приводим в соответствие". Что остается там и там?

[ewert]

TelmanStud в сообщении #780011 писал(а):

какой нибудь интервал будет всего лишь точка, а ему биекцию не составить

Что значит "не составишь"? Это ведь ровно тот же вопрос, что и о биекции между замкнутым и полуоткрытым промежутками.

Нехорошая задача: красивой конструкции в любом случае не выйдет, т.к. множества топологически неэквивалентны.

[gris]

Сейчас ТС Вам представит красивейшую конструкцию. Хотя эстетические предпочтения могут разниться. Надеюсь, вы не считаете красивыми исключительно непрерывные отображения?
Ой, уже мудрейшая особа привела пример, красотой соперничающий с ... <затыкаю фонтан>

[ewert]

Не считаю, но здесь какое-нибудь занудство в любом случае выползет.

[gris]

Промелькнуло сообщение ТС. Совершенно правильное. Осталось только свести концы с концами и всё ОК.
Но вот что интересно. Уважаемая provincialka взяла в качестве разбиения точки, значения которых образуют геометрическую прогрессию, то есть ряд из них сходится. А мы с ТС не сговариваясь взяли члены гармонического ряда, который расходится. Что-то в этом есть...

Вот что ещё подумалось. А что если попробовать построить биекцию только с помощью параллельных сдвигов частей разбиения. Ну некая вариация на тему Б-Т. Конечно, если разбить отрезок на отдельные точки, то всё прекрасно получается. А вот если потребовать, чтобы число частей было бы счётным? Или чтобы каждая часть содержала более одной точки?