Объясните задачу

[Maidanow]

Помогите разобраться с задачей.

Нужно упростить выражение
$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$

И представить в виде $x + y \sqrt{2}$

$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = x + y \sqrt{2}$

Это равенство можно преобразовать так:
$11 - 6$\sqrt{2} = (x^2 + 2$y^2) + 2xy\sqrt{2}$

Далее будем искать такие целые числа x и y, чтобы выполнялись равенства (тут мне непонятно почему именно эти равенства должны выполняться)
$x^2 + 2y^2 == 11$
и
$2xy = -6$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)».
Формулы поправил: каждая формула целиком заключается в одну пару долларов. Втыкать доллары во все места в формуле не нужно.

Maidanow в сообщении #779926 писал(а):

тут мне непонятно почему именно эти равенства должны выполняться

Числа $1$ и $\sqrt{2}$ рационально независимы, потому если $a,b,c,d$ рациональные и $a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}$, то $a=c, b=d$.

[SpBTimes]

$11 - 6 \sqrt{2} = 9 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2 = (3 - \sqrt{2})^2$

[gris]

Мы же предположили, что $x$ и $y$ целые числа. Таковых может и не быть, конечно, но если они есть, то в равных числах $11-6\sqrt 2$ и $(x^2+2y^2) + 2xy\sqrt2$ выделяются целая и иррациональная часть. И они неминуемо должны быть равны порознь.
Система из двух последних уравнений легко решается через квадратное уравнение, но из корней надо отобрать такие, чтобы $x-\sqrt 2$ было неотрицательным числом.
Обычно же такие задачи решаются так же, как квадратные уравнения с помощью теоремы Виета. Для этого половина коэффициента перед квадратным корнем загоняется внутрь его, то есть $11-6\sqrt 2=11-2\cdot 3\cdot \sqrt2=11-2\sqrt {18} $. Ну и подбираем два целых положительных числа $a$ и $b$, сумма которых равна 11, а произведение 18. Составляем ответ: $\sqrt a-\sqrt b$, причём $a$ — большее из чисел.

[forexx]

Примените формулу сложного квадратного радикала.