Оператор рождения и уничтожения

[quantum newbie]

Добрый день, участники форума.

Прошу просветить меня в одном интересующем вопросе.
Вот мы знаем, что есть операторы рождения $a^\dagger$ и уничтожения $a$ частиц. Для определённости буду говорить о фермионах. А ещё лучше вести речь о майорановских фермионах, когда $a^\dagger=a$.
На каком пространстве этот самый оператор определён?
Вроде бы понятно, что для того, чтобы определить оператор рождения, нам нужно допускать многочастичные состояния, то есть мы работаем в некотором пространстве Фока.
Для фермионов это пространство выглядит так:

$$\Psi = \mathbb{C} \oplus F \oplus S_{-} F^{\otimes 2} \oplus \ldots$$

Здесь $F$ — пространство состояний одной частицы, $S_{-}$ — антисимметризация тензорной степени.

Если $F=\mathbb{C}$, то $\Psi = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C} \oplus 0 \oplus 0 \oplus \ldots = \mathbb{C}^2$. Если $F=\mathbb{C}^2$, то $\Psi = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}^2 \oplus \mathbb{C}^2 \oplus 0 = \mathbb{C}^5$.
Правильно ли я понимаю, что минимальная размерность пространства, на котором можно ввести оператор рождения, равна $2$?

Следующий за этим вопрос звучит так: какому минимальному пространству может принадлежать аргумент оператора гамильтониана $\hat{H}=\sum_{i,j=1}^n a^\dagger_i a_j$? Можно ли сказать, что $\hat{H}$ должен действовать по крайней мере на пространство Фока $\Psi$ для $n$-мерного $F$?

[quantum newbie]

Поправка: $\hat{H}=\sum_{i,j=1}^n \varepsilon_{i,j}a^\dagger_i a_j$, причём матрица $\varepsilon_{i,j}$ антисимметричная.
Но пока интересует больше первая часть вопроса.

[Alex-Yu]

quantum newbie в сообщении #779337 писал(а):

о майорановских фермионах, когда $a^\dagger=a$.

Это не верно. Такое равенство в майорановском случае справедлиов для поля, но не для операторов рождения/уничтожения. Майорановское поле --- линейная форма по операторам рождения/уничтожения, но сразу и по тем, и по другим. Именно по этому оказывается возможно такое равенство для поля при $a^\dagger \ne a$. Вообще майорановское поле -- это фермионный аналог действительного, т.е. нейтрального бозонного поля. Там же нет такого равенства: $a^\dagger=a$, хотя поле действительно.

-- Чт окт 24, 2013 13:26:39 --

quantum newbie в сообщении #779302 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что минимальная размерность пространства, на котором можно ввести оператор рождения, равна $2$?

Да формально вроде так... А зачем это надо? Как-то бессодержательно... Ну нарисйте матрицы и все дела, если размерность всего 2.

[quantum newbie]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #779365 писал(а):

Это не верно. Такое равенство в майорановском случае справедлиов для поля, но не для операторов рождения/уничтожения. Майорановское поле --- линейная форма по операторам рождения/уничтожения, но сразу и по тем, и по другим. Именно по этому оказывается возможно такое равенство для поля при $a^\dagger \ne a$. Вообще майорановское поле -- это фермионный аналог действительного, т.е. нейтрального бозонного поля. Там же нет такого равенства: $a^\dagger=a$, хотя поле действительно.

Не понял
Я знаю, что $a_i^2=1$ и $a_ia_j=-a_ja_i$ для майорановских операторов... больше я ничего не знаю...

Alex-Yu в сообщении #779365 писал(а):

quantum newbie в сообщении #779302 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что минимальная размерность пространства, на котором можно ввести оператор рождения, равна $2$?

Да формально вроде так... А зачем это надо? Как-то бессодержательно... Ну нарисйте матрицы и все дела, если размерность всего 2.

Очень даже надо. Вот стоит задача решить УШ $\hat{H}\psi=E\psi$ и даже непонятно, какому пространству принадлежит $\psi$! А так ясно, что $\psi$ имеет размерность по меншей мере 2. Теперь можно в матричном виде представить и дальше линал применять.
С другой стороны я тут подумал, что если $\hat{H}=a_1a_2-a_2a_1=2a_1a_2$, то $\psi$ вроде бы должна быть минимум 4-мерной, но не уверен.

(Оффтоп)

Я тут ещё подумал:
$\Psi(\mathbb{C}) = \mathbb{C}^2$
$\Psi(\mathbb{C}^2) = \mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^2\oplus\mathbb{C}=\mathbb{C}^4$
$\Psi(\mathbb{C}^3) = \mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^3\oplus\mathbb{C}^3\oplus\mathbb{C} = \mathbb{C}^8$
В общем случае, если я прав,
$\Psi(\mathbb{C}^n) = \sum_k \mathbb{C}^{C_n^k} = \mathbb{C}^{2^n}$
это по крайней мере имеет некий физ. смысл: из-за запрета Паули $k$ частиц могут образовывать $C_n^k$ независимых конфигураций.

[warlock66613]

quantum newbie в сообщении #779740 писал(а):

стоит задача решить УШ $\hat{H}\psi=E\psi$ и даже непонятно, какому пространству принадлежит $\psi$

Как же вы можете его решить, если не знаете, на каком пространстве у вас гамильтониан действует? Это надо знать до того, как начинать решать!

[quantum newbie]

warlock66613 в сообщении #779804 писал(а):

quantum newbie в сообщении #779740 писал(а):

стоит задача решить УШ $\hat{H}\psi=E\psi$ и даже непонятно, какому пространству принадлежит $\psi$

Как же вы можете его решить, если не знаете, на каком пространстве у вас гамильтониан действует? Это надо знать до того, как начинать решать!

А я ведь о том же и толкую: гамильтониан выписан из неких физических соображений, а где он действиет мне не понятно. Хорошо, что и Вы сходитесь со мной на мысли, что по меншей мере размерность пространства состояний нужно знать)

[warlock66613]

quantum newbie в сообщении #779862 писал(а):

гамильтониан выписан из неких физических соображений, а где он действиет мне не понятно

Ну так этот "выписанный" гамильтониан подразумевает также некоторое вполне конкретное пространство векторов состояний, несмотря на то, что явно оно может быть не указано. Поэтому гадать какая там может быть размерность излишне.

[Alex-Yu]

quantum newbie в сообщении #779740 писал(а):

Очень даже надо. Вот стоит задача решить УШ $\hat{H}\psi=E\psi$ и даже непонятно, какому пространству принадлежит $\psi$!

А это совсем даже ни к чему т.к. все состояния можно получить из вакуума (определяемого тем условием, что действие на него любого оператора уничтожения дает нуль), действуя на него операторами рождения. А дальше нужны только коммутационные соотношения. Вот сколько таких (независимых) операторов в задаче есть, вот столько плюс один (вакуум) и есть размерность пространства. Если уж так интересно какая размерность.

Вот например, хотим мы найти все одночастичные (!!!) решения УШ. Пишем:

$$ \psi = \sum_i \alpha_i a^+_i \psi_{vac} $$

где $\alpha_i$ -- числовые коэффициенты. Дальше подставляем это в УШ и в $H\psi$ коммутируем операторы пока хотябы один из операторов уничтожения не подействует на вакуум $ \psi_{vac}\,$, что дает просто ноль. Получится выражение с меньшим числом операторов (члены пропорциональные коммутаторам останутся). Повторяем процесс пока в итоге не получится выражение в котором произведений операторов нет, только линейная форма от $a_i^+\,$. Остается, использовав УШ, приравнять коэффициенты при $a^+_i$ в правой и левой части. Все готово, получилась матричная форма УШ. Но только для одночастичных состояний Как обобщить эти вычисления на двухчастичные состояния -- очевидно. И вообще на N-частичные --- тоже. Для каждого N будет свое матричное УШ.

Тут вся "фишка" в том, что коммутатор операторов рождения/уничтожения --- это просто число. Поэтому в описанном выше процессе число операторов в произвдедениях каждый раз уменьшается на двойку.

В качестве тренировки решите описанным способом УШ для гамильтониана:

$$ H=\sum_j E_j a^+_ja_j $$

Должно получится, что уровни энергии это как раз $E_j$ и есть (для одночастичных состояний, найдите еще двухчастичные). После такого простенького упражнения все должно стать понятно.

Правда, может так получится, что стационарных состояний с фиксированным числом частиц вообще нет. Это происходит когда гамильтониан не сохраняет число частиц. Ну это сразу будет видно, если делать описанные выше вычисления: не получится линейной формы. Тогда задача "хитрее".