Производная от ортогональной матрицы

[DLL]

Пусть у нас есть собственная ортогональная матрица 3 на 3 - $A(t)$, зависящая от параметра $t$ (дифференцируемая и все такое).

Производная $dA/dt$ - это вырожденная матрица. Можно что-нибудь хорошее еще сказать про производную?

[Null]

Продифференцируйте $AA^{T}=E$ по $t$.

А вообще это известный факт. Это одна из первых теорем в кинематике твердого тела.

[DLL]

А что-нибудь попроще?
Например, ядро производной содержит одномерное собственное пространство оператора A?

[Oleg Zubelevich]

Null в сообщении #779536 писал(а):

Это одна из первых теорем в кинематике твердого тела.

да, уж. в математическом разделе можно вспомнить и про алгебру Ли группы $SO(3)$

[alcoholist]

DLL в сообщении #779581 писал(а):

Например, ядро производной содержит одномерное собственное пространство оператора A?

это слишком сложно... правда, продифференцируйте

[DLL]

Но если честно именно такой факт и нужен.
По крайней мере, знать правда это или нет.
Потому что в трехмерном вещественном пространстве собственное ортогональное преобразование есть вращение относительно некоторой оси.
Отсюда ясно, что существует (в вещественном случае) только один собственный вектор, он совпадает по направлению с осью.

Очень хочется, чтобы ядро производной содержала этот вектор :)
P.S: а что там такого хорошего с производной, продиффенцировав это выражения (Null) - я могу только вывести, что определитель производной нуль, но это мне итак известно

[DLL]

Цитата:

Очень хочется, чтобы ядро производной содержала этот вектор :)

Судя по всему, это не так :(

Пусть $k(t)$ - собственный вектор единичной длины оператора $A(t)$ (который является ортогональным, и в силу вещественности имеет только одно одномерное собственное подпространство).

Тогда $A(t)k(t)=k(t)$.
Возьмем производную

$$\frac{dA}{dt}k(t)+A(t)\frac{dk}{dt}=\frac{dk}{dt}.$$

Если предположить, что $k(t) \in Ker(dA(t)/dt)$, то:

$$A(t)\frac{dk}{dt}=\frac{dk}{dt},$$

а так как $dk/dt$ ортогонален $k$, отсюда сразу следует что $dk/dt = 0$ ввиду единственности одномерного собственного подпространства.