Показательное уравнение

[BENEDIKT]

Необходимо решить уравнение:
$3^x 4 - 2^x 9=3^{\frac{x}{2}} 2^{\frac{x}{2}}$

Сначала попробовал вынести за скобки общий множитель:
$2^x(1,5^x 4 - 9 - 1,5^\frac{x}{2} 5)=0$
$1,5^x 4 - 9 - 1,5^\frac{x}{2} 5=0$
$1,5^\frac{x}{2}(1,5^\frac{x}{2} 4-5)-9=0$
$1,5^\frac{x}{2} 4-5=\frac{9}{1,5^\frac{x}{2}}$
Ничего не получилось.
Не удалось также решить уравнение, введя новые переменные:
$a=3^{\frac{x}{2}$
$b=2^{\frac{x}{2}$
$4a^2-9b^2=5ab$
Ибо непонятно, что делать с полученным уравнением.

[AV_77]

Разделить на $a$ и получится квадратное уравнение.

[ewert]

Действуйте по шаблону -- тупо разделите левую часть на правую. Дальше всё должно оказаться очевидным.

[BENEDIKT]

Прошу простить за непонятливость, но пока не получается.
Сначала попробовал разделить на $a$:
$4a-\frac{9}{a} b^2=5b$

$-\frac{9}{a}b^2-5b+4a=0$
Избавиться от второй переменной таким образом не смог.
Попробовал также разделить одну часть на другую:

$\frac{4a^2-9b^2}{5ab}=1$

$\frac{(2a-3b)(2a+3b)}{5ab}=1$

Но безуспешно.

[ewert]

А Вы попробуйте всё-таки мой вариант. Он же должен (нет, даже не должен -- обязан) напрашиваться. Что после деления выйдет-то?...

[AV_77]

BENEDIKT в сообщении #779679 писал(а):

Сначала попробовал разделить на $a$:

На $a^2$, конечно, делить надо. Потерялась двойка.

[BENEDIKT]

AV_77 в сообщении #779687 писал(а):

На $a^2$, конечно, делить надо.

Увы, ничего не получается.
Деление на $a^2$ не позволяет избавиться от одной из переменных:
$4-\frac{9b^2}{a^2}=\frac{5b}{a}$
$4-\frac{9b^2+5ab}{a^2}=0$

ewert в сообщении #779682 писал(а):

А Вы попробуйте всё-таки мой вариант.

Уже попробовал. Дальше не продвинулся:
$\frac{4a^2-9b^2}{5ab}=1$

$\frac{(2a-3b)(2a+3b)}{5ab}=1$

Не понимаю, как сократить эту алгебраическую дробь.

[AV_77]

BENEDIKT в сообщении #779697 писал(а):

Увы, ничего не получается.
Деление на $a^2$ не позволяет избавиться от одной из переменных:

Ну вы посмотрите повнимательнее. Тут же замена просто напрашивается.

[provincialka]

BENEDIKT Лучшее равенство - первое из выписанных. Ищите здесь повторяющуюся конструкцию.

[ewert]

Да нету там никаких ни ав, не бэв. Надо просто тупо разделить.

В чём проблема-то? -- в том, что в уравнении присутствуют три показательные функции. И формально -- совершенно разные. Что как-то не есть хорошо.

Ну а если чего-нибудь на чего нибудь разделить -- не уменьшится ли разнообразие? -- как минимум неплохо бы это проверить.

Ну так и проверка эту гипотезу мгновенно подтверждает. Да, поможет.

[Shadow]

BENEDIKT в сообщении #760483 писал(а):

Уравнение-то простое, но решить его не смог.

$2\sin^2 2x-5\sin2x \cos2x+\cos^2 2x=0$

Разделил на $\cos^2 2x$:

$2\tg^2 2x-5 \tg2x +1=0$

Странно. Значит, с косинусами и тангенсами можно, а с буквами уже нельзя...

[BENEDIKT]

Теперь понял. Решил обоими указанными способами. Большое спасибо всем за помощь.