О Маклореновских разложениях

[ewert]

gris в сообщении #778921 писал(а):

Для допущения нужно только знание значения в нуле и нечётности синуса.

Но самого допущения не нужно.

Если $\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=A$, то

$$A=\lim\limits_{x\to0}\frac{3x-\sin3x}{27x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{3x-3\sin x}{27x^3}+\lim\limits_{x\to0}\frac{4\sin^3x}{27x^3}=\frac19A+\frac4{27},$$

откуда $A=\frac16.$

Другое дело, что таким способом можно лишь вычислить предел, но невозможно доказать его существование; для последнего производные в любом случае понадобятся.

[gris]

Ну это понятно. Мои рассуждения не более чем шутка, которая показывает, что иногда фокусы получаются
(к двум предыдущим постам. головокружительно, однако .)

[Евгений Машеров]

Ну, если начать с тождества $\cos nx+i\sin nx=(\cos x +i\sin x)^n$
(которое можно вывести, не используя тождество Эйлера)
и принять, что при малых x $\sin x = x$ и $\cos x = 1$
то можно записать $\cos x + i\sin x=(1+i\frac x n)^n$
расписать бином и заметить, что $C^k_n n^{-k}$ при устремлении n к бесконечности стремится к $\frac 1 {k!}$
то получить ряд получится.
Остаточный член тут оценить, наверно, не выйдет, и насколько нестрогость замен синуса на икс и косинуса на единицу дискредитирует всё доказательство - неясно.
Но в качестве способа догадаться какому-нибудь античному математику (правда, ему ещё про i догадываться придётся, так что не ранее Возрождения), каким рядом можно получить синус и косинус, наверно, годится.

[Null]

Евгений Машеров Это рассуждение доводиться аккуратными оценками и использованием того что $\lim\limis_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ И $\lim\limis_{x\to 0}\cos x=1$. Делал на 1ом курсе.

[gris]

Тут из подпола Лагранжем потянуло. Одновременно в нескольких темах появились призывы обойтись без пределов. И эта тема тоже в струе.

[Евгений Машеров]

gris в сообщении #779550 писал(а):

Тут из подпола Лагранжем потянуло. Одновременно в нескольких темах появились призывы обойтись без пределов. И эта тема тоже в струе.

(Оффтоп)

Это беспредел!

А вообще - хотелось бы знать, зачем всё это?

[provincialka]

Нет, здесь с пределами.
А сама тема в небольших дозах полезна. Я даю такие примеры до производной и дифференциала, ввожу понятие многочлена Тейлора. Чтобы он не с неба падал. Зато потом говорю: вот как легко получить те же коэффициенты с помощью дифференцирования.

[gris]

Тут речь не о том, что в хороших случаях, всё гладенько и просто получается. А в том, что надо с самого начала строить строгую и содержательную теорию, со строгими обоснованиями, со всеми неудобными функциями, которые, может быть, и не нужны в практических приложениях. И в её контексте вести разговор. А так — получается именно что для забавы. Так можно и неопределённые интегралы брать: пофантазировать насчёт первообразной, написать её и продифференцировать. Чуточку подправить и получить ответ. И в простых случаях сработает.

[Евгений Машеров]

Null в сообщении #779547 писал(а):

Евгений Машеров Это рассуждение доводиться аккуратными оценками и использованием того что $\lim\limis_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ И $\lim\limis_{x\to 0}\cos x=1$. Делал на 1ом курсе.

Да, видимо, всё доводимо до строгости. Но если недозволены производные, что насчёт пределов?

[ewert]

Первый замечательный предел появляется до всяких производных, принципиально до. Однако в корректность не всматривался -- в любом случае это теоретическое извращение.

Однако же отнюдь не извращением являются попытки вычислить предел, не доказывая его существование (и, соотв., не утопая в технических деталях). Это полезное упражнение, в т.ч. и для демонстрации того, что вычисление и формальное доказательство -- суть вещи всё-таки разные.

[a.k.]

provincialka в сообщении #779630 писал(а):

Нет, здесь с пределами.
А сама тема в небольших дозах полезна. Я даю такие примеры до производной и дифференциала, ввожу понятие многочлена Тейлора. Чтобы он не с неба падал. Зато потом говорю: вот как легко получить те же коэффициенты с помощью дифференцирования.

Спасибо, что сформулировали то, что я хотел написать в начале темы, но поленился! "Birds of feather flock together" .)

Евгений Машеров в сообщении #779395 писал(а):

Ну, если начать с тождества $\cos nx+i\sin nx=(\cos x +i\sin x)^n$
(которое можно вывести, не используя тождество Эйлера)
и принять, что при малых x $\sin x = x$ и $\cos x = 1$
то можно записать $\cos x + i\sin x=(1+i\frac x n)^n$
расписать бином и заметить, что $C^k_n n^{-k}$ при устремлении n к бесконечности стремится к $\frac 1 {k!}$
то получить ряд получится.
Остаточный член тут оценить, наверно, не выйдет, и насколько нестрогость замен синуса на икс и косинуса на единицу дискредитирует всё доказательство - неясно.
Но в качестве способа догадаться какому-нибудь античному математику (правда, ему ещё про i догадываться придётся, так что не ранее Возрождения), каким рядом можно получить синус и косинус, наверно, годится.

Null в сообщении #779547 писал(а):

Это рассуждение доводиться аккуратными оценками и использованием того что $\lim\limis_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ И $\lim\limis_{x\to 0}\cos x=1$. Делал на 1ом курсе.

Эта формула (точнее ее мнимая часть) есть не что иное, как формула для $\sin(nx)$, и при $n=3$ как раз представляет собой формулу синуса тройного угла. Таким образом, вывести из нее $\lim\limis_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}=-\frac{1}{6}$, зная только первый замечательный предел и непрерывность косинуса, не получится.