Формула Бернулли или...

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти вероятность того, что годных к продаже образцов товаров окажется больше 20.

Можно ли в ней использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа? или же все таки необходимо честно считать по формуле Бернулли?

[arseniiv]

Всего-то четыре слагаемых — а ответ точный.

[Limit79]

С одной стороны, для использования формулы Муавра-Лапласа достаточно $n>100$, $npq>20$, а у нас $n=24$, а $npq = 5.76$, то есть она нам не подходит, с другой стороны, если считать по формуле Бернулли, то получаются $15$ и $17$-значные числа в числителе и знаменателе соответственно.

-- 22.10.2013, 21:33 --

arseniiv
Точный ответ, который будет $\frac{208820030991489}{59604644775390625}$ несколько смущает своей громоздкостью

[provincialka]

А вы зачем в обыкновенных дробях считаете? Выполняйте вычисления в десятичных, все равно такая точность никому не нужна.

[Limit79]

По формуле Бернулли будет $\sim 0.0035034188$
По формуле Муавра-Лапласа будет $\sim 0.002948092$

Относительная погрешность $15$ % как-никак...

-- 22.10.2013, 21:38 --

provincialka
А не путаю-ли я условия формулы Муавра-Лапласа, и, действительно ли здесь лучшего всего использовать формулу Бернулли?

[ewert]

Как говаривал тов. Винни-Пух: "Хрен их разберёт, этих пчёл; возможно, они неправильные и несут неправильный мёд". Ну а возможно, что и наоборот.

С одной стороны, тупо по Бернулли надо перебрать всего лишь 4 случая; так что не исключено, что имелся в виду именно Бернулли.

Но, с другой, 24 -- это тоже достаточно много, сигма же там порядка двух с половиной, т.е. отклонение от среднего составляет всего лишь где-то две-три сигмы, так что и Муавр-Лаплас тоже выглядит более-менее приемлемым, пусть и для грубых прикидок, пусть и на пределе допустимой точности.

Совершенно не исключено, что задачка так и была задумана -- для сравнения точного значения по Бернулли и приближённого по Муавру-Лапласу в некотором пограничном случае. В общем, хрен их разберёт, этих пчёл.

[Limit79]

ewert
Еще смущает такая деталь: в методичке, для других вариантов заданий цифры подходят для использования Муавра-Лапласа, а в моем варианте - как-то не очень...

[provincialka]

Limit79, у меня численные данные такие же получились. А "что хорошо, что плохо", допустима ли такая погрешность - от задачи зависит.

(Оффтоп)

В теории вероятностей вообще много относительного. Я студентам приводила такую аналогия. Вероятность 5% - это много или мало? Если вы покупаете надувной шарик и с вероятностью 5% он дырявый - не страшно, он же дешевый, и последствия не катастрофические. А вот если вы покупаете другое резиновое изделие... (кажется, оно называлось в СССР №2) - тут уж и 1% вероятность брака - чрезвычайно много.

[ewert]

Limit79 в сообщении #778751 писал(а):

в методичке, для других вариантов заданий цифры подходят для использования Муавра-Лапласа, а в моем варианте - как-то не очень...

Тогда, раз это некий регулярный блок задач на явно именно Муавра с Ко -- тупо следуйте шаблону, и пусть все сомнения провалятся в тартарары. Но и о сомнениях тоже не забывайте: не говоря уж об по существу -- в критических (для зачёта) случаях они помогут отбиться.

[edd_k]

В любом случае, Бернулли - правильно. Раз даже точный ответ привели - значит вычислимо и уже вычислено. Так зачем тогда муавров привлекать? В условии не сказано, каким способом. Нет ни одной причины по которой за использование ОСНОВНОЙ (в контексте задачи) формулы следовало бы вас наказать.


Кстати, интегральная теорема вовсе не только аж при n>100 рекомендуется. Я часто встречал в методичках n>10, np>10. Задачи под нее тоже часто с n=30...60 составляют.

Ну а в этой задаче - 4 слагаемых по Бернулли не большая преграда. Вот если бы требовалось найти вероятность от 10 до 14, например, то C-шки из десятка множителей каждая уже как-то не охота было бы считать.

[provincialka]

edd_k в сообщении #778756 писал(а):

то C-шки из десятка множителей каждая уже как-то не охота было бы считать.

А что, Excel-ем пользоваться запрещается? Там вообще ставишь параметр "1 - интегральный" - и дают значение (тут - для противоположного события).

[ewert]

edd_k в сообщении #778756 писал(а):

Так зачем тогда муавров привлекать?

А для педагогических целев. И, кстати, конкретные границы применимости (в стандартных учебниках) -- сугубо абстрактны и особого значения значения для практических целев не имеют. Это лишь так: положено что-то сформулировать -- ну и сформулируем.

А вот конкретно эта задачка -- вполне практична. Была бы, если бы её параметры не были бы сочинены просто с бодуна, просто по рассеянности.

[provincialka]

Думаете, практичная задачка? 40% товаров - в брак?

[_Ivana]

Примерно такое значение и следует закладывать в бизнес-план магазинчика по продаже дешевого китайского фуфла, например, электронных игрушек...

[ewert]

provincialka в сообщении #778794 писал(а):

Думаете, практичная задачка? 40% товаров - в брак?

Это уже вопрос сугубо технологический. Что дешевле -- организовать бездефектное производство или просто отбраковывать дефектные изделия.

Насколько помню, лет тридцать назад при изготовлении микросхем в брак шло что-то процентов 90 заготовок. И ничего, вполне нормальный технологический процесс был. Как сейчас -- не знаю.