2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение22.10.2013, 12:58 


01/07/08
813
Киев
gris в сообщении #777989 писал(а):
Может быть ТС имел в виду именно

Ещё раз, большое спасибо за ссылку. На 141 стр. есть рисунок на котором видна правильная постановка задачи. Из этой ссылки я получил нижеследующую информацию
Цитата:
Elementary mechanics by Phear, John B. Sir
Elementary mechanics
by J.B. Phear.
Published 1850 by Macmillan in Cambridge .

В электронном варианте не приводится библиография, то есть возможно автор "Элементарной механики" может не быть автором задачи. Задачу можно датировать - ранее 1850 года.
Какие выводы можно сделать из картинки на странице 141. Конструкция явно "мысленный эксперимент".
Это значит все элементы абсолютно жесткие(недеформируемые), неотличимы друг от друга примерно как одинаковые элементарные частицы в квантовой механике. :-) Проекция центра тяжести неподвижна и попадает на край опоры. Такое равновесие неусточиво без регулировки, но это не для данной темы. Тем не менее теоретически конструкция устойчива. А конструкция которую я взял из олимпиадного сборника одобренного министерством образования РФ не имеет даже такой "теоретической" устойчивости. 1850 год остается пока единственным документированным претендентом на право "первородства". С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение22.10.2013, 17:02 


10/02/11
6786
уже хорошо, что Вы перестали говорить про какую-то там мифическую некорректность

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение22.10.2013, 17:30 


01/07/08
813
Киев
Oleg Zubelevich в сообщении #778621 писал(а):
уже хорошо, что Вы перестали говорить про какую-то там мифическую некорректность

Могу повторить, задача из "Элементарной механики" решается корректно в смысле учета сил и вращательных моментов сил, задача с постоянным смещением карт из современного сборника олимпиадных задач решается некорректно в отношении моментов сил. Хотя в упомянутом сборнике решение для неограниченного числа кирпичей только коментируется. В теме я только ставил вопрос об истории задачи. С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение22.10.2013, 19:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Я кажется понял, в чём дело.
Вы (вернее, составитель задачи из сборника) рассматриваете конструкцию с постоянным сдвигом каждого кирпича. В этом случае можно воспользоваться формулой, которую дал уважаемый Oleg Zubelevich. Я позволю себе скопировать его сообщение и прямо по нему сделать выводы.
"Предположим, башня состоит из $n+1$ кирпича, каждый кирпич длины $2l$. Первый кирпич на вершине башни, $n+1$-ый лежит на полу. Проведем горизонтальную ось $X$ и через $x_j$ обозначим координату центра масс $j$-го кирпича, $x_1\ge x_2\ge x_3\ge\ldots$."

Предположим, что $x_i-x_{i+1}=a$, то есть константе. То есть $x_2=x_1-a; \;x_3=x_2-a=x_1-2a;\;... ;\;x_{x+1}=x_i-ia$.

Условие равновесия системы, состоящей из первого кирпича имеет вид $x_1=x_2+b,\quad 0\le b\le l$
Можно переписать его в виде $0\le x_1-x_2 \le l$
То есть при $ 0\le a\le l$ первый кирпич находится равновесии.

Условие равновесия системы из первого и второго кирпича: $0\le a\le l\quad \dfrac{1}{2}(x_2+x_1)=x_3+b,\quad 0\le b\le l\quad 0\le \dfrac{1}{2}(x_2+x_1)- x_3 \le l$
$\quad 0\le \dfrac{1}{2}(x_1-a+x_1)- x_1+2a \le l \Rightarrow \quad 0\le \dfrac{3}{2}a \le l $

То есть $\quad 0\le a \le \dfrac{2}{3}l $
Мы видим, что равновесие башни из трёх кирпичей накладывает на величину постоянного сдвига ещё большие ограничения. Ну и так далее.

Можно решить и обратную задачу: по заданной величине сдвига определить максимальную высоту башни.

Воспользуемся условиями равновесия всей системы, а в предположении монотонного усиления ограничений, только последним условием:

$\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^n {x_j} \;\;-x_{k+1}\le l \Rightarrow \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^n {x_1-(j-1)a} \;\;-x_1+na\le l\Rightarrow \dfrac{(n+1)a}{2}\le l $

Окончательно, $n \le \dfrac{2l}{a}-1 $, а если считать общим количеством кирпичей $k$, то всего в устойчивой (в статическом смысле) башне с длиной кирпича $2l$ и постоянным сдвигом $a$ может быть не больше $k= \dfrac{2l}{a} $ кирпичей. При попытке положить ещё один кирпич <по крайней мере одно> условие равновесия (неравенство моментов) нарушается, и башня валится :-( .

Надеюсь, я не наделал ошибок, а Oleg Zubelevich не рассердится за использования его формул и текста без разрешения.

Я думаю, что ТС имел в виду именно этот момент :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение23.10.2013, 12:24 


01/07/08
813
Киев
gris в сообщении #778684 писал(а):
Я думаю, что ТС имел в виду именно этот момент :-)

Я не трус, но я ... . Меня останавливает модераторское предупреждение, ещё одно демагогическое поползновение и бан пожизненный. :-) С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение24.10.2013, 08:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
То есть, что-то тут не так?
Что же именно?
Приведённая система неравенств может считаться достаточным и/или необходимым условием равновесия башни?
Если да, то в двух частных случаях по ней можно определить: при постоянном сдвиге нельзя достичь полного сдвига верхней карты относительно нижней; существует система сдвигов, при которой сдвиг верхней карты можно сделать сколь угодно большим.
Или же Вы считаете, что если явно посчитать моменты сил и применить их к конструкции, то достаточные условия равновесия будут другими?
Мне кажется, что тут нет никаких демагогических поползновений, а только желание разобраться в задаче.
Я понял, что при постоянном сдвиге Вы получили невозможность полного сдвига верхней карты из соображений симметрии и прочих, но это как раз и подтверждается расчётами с системой неравенств.
Кстати, оказывается по этой самой <Пизанской> башне понаписано очень много интересного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение24.10.2013, 15:41 


01/07/08
813
Киев
gris в сообщении #779349 писал(а):
То есть, что-то тут не так?

Если Вас интересует моё упоминание о модераторе и моей демагогии, то это не про эту задачу и этот явно ненаучный вопрос можно обсуждать в личке. Относительно рассматриваемой башни. Предлагаю задачу описанную в "Элементарной механике" называть - задача 1, задача из олипиадного сборника - задача 2. Когда я столкнулся с задачей 2 меня удивило её кажущееся сходство с задачей 1. В задаче 1 моменты сил уравновешены конструктивно а равнодействующая сил тяжести попадает на край опоры и статически башня устойчива. Мне вспоминается, Литлвуд в "Математической смеси" оценивал вероятность оставленного в равновесии стека доехать до Лондона в положении равновесия. Он получает очень малое но конечное положительное число. Та же история с задачей 1. При достаточно большом $N$ у башни будет устойчивое равновесие, но зона устойчивости очень малая. Это можно обсуждать, но я ведь задавал вопрос об истории задачи. Задача 2 нормально устойчива пока не уравновесятся моменты. После этого устойчивость теряется, как Вы показали, а расходимость гармонического ряда ничем не может помочь.
gris в сообщении #779349 писал(а):
Кстати, оказывается по этой самой <Пизанской> башне понаписано очень много интересного.

В ссылке, которую Вы привели, об этом есть, но все примеры сводятся к эквивалентным преобразованиям задачи 1. А все таки, очень хочется узнать кто же первым сказал "А-а-а", как сказано в "Ревизоре" Н.В. Гоголя. С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение24.10.2013, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Я, каюсь, употребил слово "устойчивость" в смысле "равновесие", хотя можно говорить и о Ляпуновской устойчивости, но для таких больших в одном направлении конструкций это не имеет смысла (?), впрочем, я и не собирался.
Гармонический ряд появляется только в первой задаче, да и то его вполне можно заменить другим расходящимся рядом, при котором условия равновесия выполняются, что и делается, кстати, в некоторых статьях в целях уменьшения высоты башни при достижении определённого сдвига верхнего блока относительно нижнего.
Во второй задаче никакого гармонического ряда нет и спасать нечего. Но мне жутко кажется, что во второй задаче, в этом самом сборнике, и не говорилось о постоянном сдвиге. Как-то Вы не так их поняли, хотя это и трудно себе представить. Хотя всё может быть и виноват во всём наборщик. Во всяком случае, текста или ссылки на сборник тоже нет :?: Ну да бог с ним.

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение24.10.2013, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72338
hurtsy в сообщении #779570 писал(а):
Предлагаю задачу описанную в "Элементарной механике" называть - задача 1, задача из олипиадного сборника - задача 2.

Различие между ними - воображаемое. Так что здесь далеко не "Ревизор"...

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение24.10.2013, 20:42 


01/07/08
813
Киев
Вот ссылка на задачу 2. Задача 1.19 (Кирпичи)
Олимпиадные задачи по физике. Международная олимпиада "Туймаада"
На стр. 63-64 решение.
Цитата:
Олимпиадные задачи по физике. Международная олимпиада
Туймаада Под ред. Селюка Б. В. М.: МЦНМО, 2007. 160 с.: ил.
ISBN 978–5–94057–256–5.

Munin в сообщении #779589 писал(а):
Различие между ними - воображаемое.

Вот цитата о бесконечности.
Цитата:
Если продолжать наращивать число кирпичей таким же образом, то сме-
щение верхнего кирпича относительно нижнего может стать как угодно боль-
шим,

Пожалуйста, сравните.
С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение24.10.2013, 22:30 


10/02/11
6786
Фраза в задаче 1.19:
Цитата:
Каждый более высокий кирпич сдвигают на максимальную величину, не нарушающую
равновесия

выглядит странно, поскольку в соответствие с этой фразой , второй (снизу) кирпич следует сдвинуть на половину длины (во всяком случае так можно понять). Дальнейшее построение башни тогда сделается невозможным, по крайней мере, так как это показано на рисунке. При этом далее приводится вполне стандартное решение.

hurtsy в сообщении #779724 писал(а):
Вот цитата о бесконечности.

это цитата не о бесконечности

-- Чт окт 24, 2013 22:48:14 --

(Оффтоп)

у меня есть подозрение, что там с решением задачи 1.30 не все благополучно

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение25.10.2013, 00:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72338
hurtsy в сообщении #779724 писал(а):
Вот ссылка на задачу 2. Задача 1.19 (Кирпичи)
Олимпиадные задачи по физике. Международная олимпиада "Туймаада"

На стр. 63-64 решение.

Правильная формулировка и решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение25.10.2013, 04:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Если ухитриться довольно неуклюжую фразу "Каждый более высокий кирпич сдвигают на максимальную величину, не нарушающую
равновесия" трактовать как разрешение после поклажи сверху постройки очередного кирпича сдвинуть любой, по сути, каждый кирпич, то и формулировка, и решение получаются стандартными. Что и привёл Oleg Zubelevich на предыдущей странице. Ну либо приподнимать башню и всовывать кирпичи снизу, что тоже было предложено.

Так что, Слава Админу, остаётся только исторический аспект вопроса.

Дотошного ТС, вероятно, ввёл в заблуждение рисунок в брошюре, где смещения нарисованы равными, хотя и по-разному обозначены. Но в тексте решения эти смещения указаны явно и равны членам гармонического ряда с постоянным коэффициентом, равным половине требуемого полного смещения верхнего кирпича относительно нижнего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение25.10.2013, 14:12 


01/07/08
813
Киев
Munin в сообщении #779869 писал(а):
Правильная формулировка и решение.

Благодарю за внимание. Как учит Munin правильно сформулировано и решено, но только воображаемо. С уважением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Карточный фокус, статика.
Сообщение25.10.2013, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72338
Итого, вы привели две совпадающие формулировки и решения, про которые сообщили, что они разные, и одна правильная (с решением), а другая неправильная.

И насчёт воображаемости, не привели толком никаких аргументов: у вас были какие-то сомнения, но когда вам объяснили их беспочвенность, вы ничего не добавили.

И?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group