Карточный фокус, статика.

[hurtsy]

Очень известная задача. Встречается и в постановке где вместо карт используются кирпичи. Мне эта задача попадалась дважды в карточном варианте в переводах с английского и в олимпиадном сборнике задач по физике одобренном министерством образования РФ (составлено Якутским госуниверситетом, вариант с кирпичами). Если кому из участников форума известна история этой задачи, заранее благодарю за ссылку, я к сожалению позабыл. Сама задача ниже. Карты укладываются стопкой со сдвигом на толщину карты верхней относительно касающейся к ней нижней соседней карты. Сдвиг идет в направлении паралельном более длинной стороне. В результате решения получается, что вынос самой верхней карты по отношению к карте лежащей в основании равен $(\ln N) h $ , где $N$ - количество карт в стопке, $h$ - толщина карты. С уважением,

[zer0]

Сдвиг вовсе не на толщину карты.

[hurtsy]

zer0 в сообщении #777176 писал(а):

Сдвиг вовсе не на толщину карты.

Если вы нашли формулировку задачи, дайте, пожалуйста, ссылку. С уважением,

[gris]

Это задача про то, что можно ли построить устойчивую стопку одинаковых прямоугольных кирпичей (карт) так, чтобы она была неограничена по горизонтали, но не падала. То есть центр тяжести конструкции выше каждого кирпича должен проецироваться внутрь основания кирпича. Теоретическая неограниченность выводится из расходимости гармонического ряда, а практически — проверял ли кто? Ведь расходится он очень медленно. Как бы не пришлось там учитывать уменьшение "же" и прочие эффекты.

[nikvic]

gris в сообщении #777282 писал(а):

а практически — проверял ли кто?

Практически ограничено жёсткостью "кирпичей".

[hurtsy]

gris в сообщении #777282 писал(а):

То есть центр тяжести конструкции выше каждого кирпича должен проецироваться внутрь основания кирпича. Теоретическая неограниченность выводится из расходимости гармонического ряда, а практически — проверял ли кто?

Да, именно так эта задача решается в тех изданиях, которые мне встречались. Именно поэтому я просил ссылку на автора задачи. Расходимость гармонического ряда конечно не связана с решением. Положение проекции центра тяжести для каждого значения $N$ определяется $N$-ой частичной суммой ряда. Рост логарифмической фунции настолько медленее линейного роста, что практически проверить реальность конструкции невозможно, то есть проекция центра тяжести выйдет за пределы нижней карты очень и очень нескоро. Сам по себе критерий устойчивости хорош, и наверное, на первый взгляд, похож на необходимое и достаточное условие устойчивости. При нахождении положения центра тяжести не учтены моменты вращения создающиеся нависанием каждой карты над картой на которую она опирается. Рост этой суммы очевидно линейный и неустойчивость конструкции наступит гораздо раньше чем перерезывающее напряжение в картах превысит предел прочности. Я умышленно предложил взять сдвиг равным толщине карты. Представим себе, что нам хватило терпения довести конструкцию до того, что проекция верхней карты коснется правой стороны нижней карты. Из соображений симметрии вращательный момент уравновешен( если вообразить конструкцию монолитной) и дальнейшее построение должно приводить к вращению конструкцию. Мне кажется, основная причина "устойчивости" конструкции некорректный учет вращающих моментов. С уважением,

PS. Все таки я оставляю просьбу о ссылке, мне кажется что такая некорректность допустима только в научной попсе.

[Oleg Zubelevich]

А некорректности никакой нет, есть непонимание ТС элементарных вещей.

[gris]

Дело в том, что сдвиг не постоянный. Я не помню, но может быть он равен толщине, делённой на номер карты, считая сверху. Если сдвиг постоянен, то конструкция рано или поздно клюнет. В случае сдвига, пропорционального последовательным членам гармонического ряда, при должных оговорках насчёт прочности, однородности поля тяготения и прочих, обеспечивается устойчивость башни и неограниченность сдвига верхнего кирпича относительно нижнего. Моменты, мне кажется, тут в порядке, но это уж пусть более квалифицированный человек подтвердит. К сожалению, насчёт истории вопроса пока ничего сказать не могу.

[nikvic]

У задачи есть "физическое" решение (и его можно переделать в математическое доказательство расходимости гармонического ряда).

Именно, будем подкладывать под нижнюю карту дополнительные - пока ЦМ не сдвинется "назад", скажем, на треть длины карты. Стал быть, конструкцию всегда можно продвинуть на треть.

[hurtsy]

Oleg Zubelevich в сообщении #777677 писал(а):

А некорректности никакой нет, есть непонимание ТС элементарных вещей.

И за то спасибо, а может применение элементарных методов не достаточно?? С уважением,

gris в сообщении #777680 писал(а):

К сожалению, насчёт истории вопроса пока ничего сказать не могу.

Остается ждать и надеяться. Обнадеживает, то что задача известная, с уважением.

[gris]

Вот есть ссылка с большой референцией: http://mathworld.wolfram.com/BookStackingProblem.html
"Задача о стопке книг (?)".
Если найду что-то более конкретное, то сообщу. Не Риман-ли придумал? Хотя и греки могли, они такие

Надеюсь, что Вы с механической частью проблемы разобрались, а интересуетесь чисто исторической компонентой.
Между книгами никем не предполагается никакого склеивания, иначе требуемого сдвига можно было бы достичь гораздо раньше, используя разносторонние сдвиги. Хотя вот в одном месте прочитал: надо рассматривать башню как единое целое. Эти слова могут ввести в заблуждение.

+++ В книге "Fun with stacking blocks" by John F. Hall задача обсасывается со всех сторон и во множестве вариаций. Но по истории пока ничего

+++ http://www.math.dartmouth.edu/~pw/papers/maxover.pdf Пардон за назойливость, но вот ещё подсказали ссылку, где упомянуты книги 19 века по механике и проблема рассмотрена ещё более глубоко и широко.
http://archive.org/stream/elementarymecha00pheagoog#page/n162/mode/2up стр 140-141.

[hurtsy]

gris в сообщении #777693 писал(а):

Пардон за назойливость, но вот ещё подсказали ссылку, где упомянуты книги 19 века по механике и проблема рассмотрена ещё более глубоко и широко.

Спасибо, за ссылки прежде всего Вам и Вашим подсказчикам. Изначально меня интересовало как задача дошла до "карточно-фокусного" варианта.

gris в сообщении #777693 писал(а):

Не Риман-ли придумал? Хотя и греки могли

Неужели Риман занимался такой конкретикой? А Архимед - было бы очень интересно .

С уважением,

[Munin]

hurtsy в сообщении #777668 писал(а):

проекция центра тяжести выйдет за пределы нижней карты очень и очень нескоро.

Говоря проще, никогда.

hurtsy в сообщении #777668 писал(а):

если вообразить конструкцию монолитной

Здесь ошибка.

[Oleg Zubelevich]

Предположим, башня состоит из $n+1$ кирпича, каждый кирпич длины $2l$, высота кирпича значения не имеет (картинка плоская). Первый кирпич на вершине башни ,$n+1$-ый лежит на полу. Проведем горизонтальную ось $X$ и через $x_j$ обозначим координату центра масс $j$-го кирпича, $x_1\ge x_2\ge x_3\ge\ldots$.

Условие равновесия системы состоящей из первого кирпича имеет вид $x_1=x_2+a_1,\quad 0\le a_1\le l$
Условие равновесия системы из первого и второго кирпича:

$$x_1=x_2+a_1,\quad \frac{1}{2}(x_2+x_1)=x_3+a_2,\quad 0\le a_2\le l$$

Условия равновесия всей системы:

$$\frac{1}{k}\sum_{j=1}^kx_j=x_{k+1}+a_k,\quad 0\le a_k\le l,\quad k=1,\ldots, n$$

Фактически, это уравнения моментов. Кусок гармонического ряда получается если считать все $a_k=a,\quad 0<a\le l$

[gris]

Отсюда <по индукции> получается, что $x_k-x_{k+1}=\dfrac ak$, то есть сдвиг между последовательными кирпичами в "гармоническом" случае не зависит от высоты (толщины) кирпича, но уменьшается сверху вниз. А вот сдвиг между центрами масс между кирпичом и вышележащей конструкцией будет постоянным и равен $a$. Может быть ТС имел в виду именно этот постоянный сдвиг? Ведь толщина кирпича как раз равна половине его длины.