2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 11:58 


10/09/13
214
Как доказать ограниченность последовательности и ее монотонность?

$x_{n+1}=\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{3x_n}{4};\;\;x_1=1$

У меня есть такие соображения:

1) Монотонность:

$x_{n+1}-x_{n}=\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{3x_n}{4}-x_n=\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{x_n}{4}>0$ (те $x_n>0$, точно ли $x_n>0$, как проверить,откуда следует?). То есть возрастает последовательность.

2) Ограниченность. Тут есть только идея взять число от балды и по мат индукции доказать.

$x_{n+1}=\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{3x_n}{4}<10$ (*)

a) (*) Выполняется для $n=1$

b) Предположим, что для $n=k$ (*) выполняется. Проверим для $n=k+1$

$x_{k+2}=\dfrac{1}{2x_{k+1}}+\dfrac{3x_{k+1}}{4}<\dfrac{1}{2}+\dfrac{30}{4}=\dfrac{32}{4}=8<10$ (чтд).

Ограниченность снизу $x_n\ge 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 12:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
В п.1 вычислительная ошибка: $\frac34-1=-\frac14 <0$ Исправьте и посмотрите, при каком условии будет $x_{n+1}.x_n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 12:23 


10/09/13
214
provincialka в сообщении #778469 писал(а):
В п.1 вычислительная ошибка: $\frac34-1=-\frac14 <0$ Исправьте и посмотрите, при каком условии будет $x_{n+1}.x_n$


При $|x_n|>\sqrt{2}$? А как узнать -- больше ли $x_n$, чем корень из двух?

-- 22.10.2013, 12:32 --

А как доказать огранниченность снизу тогда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Вы же хотите возрастание доказать? Там у меня опечатка, вместо знака $>$ точка получилась. А вы какое неравенство проверяли? Похоже, опять ошибка в счете. Должно получиться $x_n^2 <2$. Вот это и надо показать в первую очередь, это будет и ограниченность, и возрастание. Вернее, оба свойства надо проверять параллельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 13:55 


27/11/10
207
Цитата:
А как доказать огранниченность снизу тогда?

Можно взять что-нибудь простое, например посмотреть на знаки членов последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 14:56 


10/09/13
214
provincialka в сообщении #778501 писал(а):
Вы же хотите возрастание доказать? Там у меня опечатка, вместо знака $>$ точка получилась. А вы какое неравенство проверяли? Похоже, опять ошибка в счете. Должно получиться $x_n^2 <2$. Вот это и надо показать в первую очередь, это будет и ограниченность, и возрастание. Вернее, оба свойства надо проверять параллельно.

Спасибо, но как их проверять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 16:13 


10/09/13
214
Я понял, что из $x_{n+1}>x_n$ следует, что $x_n^2<2$. То есть из возрастания будет следовать ограниченность (конкретно в этой задаче). Весь вопрос в том -- как доказать ограниченность теперь. Про чередование знаков пока что не понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Tosha в сообщении #778593 писал(а):
Я понял, что из $x_{n+1}>x_n$ следует, что $x_n^2<2$.
Лучше рассуждать наоборот, из свойств $x_n$ делать вывод о следующем члене последовательности.

Само неравенство для $x_n^2$ докажите по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 17:54 


10/02/11
6786
а еще полезно нарисовать график функци $1/(2x)+3x/4$ и в тех же осях нарисовать график функции $y=x$ а потом нарисовать последовательность

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 20:03 


10/09/13
214
provincialka в сообщении #778620 писал(а):
Tosha в сообщении #778593 писал(а):
Я понял, что из $x_{n+1}>x_n$ следует, что $x_n^2<2$.
Лучше рассуждать наоборот, из свойств $x_n$ делать вывод о следующем члене последовательности.

Само неравенство для $x_n^2$ докажите по индукции.


Спасибо.

$|x_{n+1}|=\left|\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{3x_n}{4}\right|<\sqrt{2}$ (*)

a) (*) Выполняется для $n=1$

b) Предположим, что для $n=k$ (*) выполняется. Проверим для $n=k+1$

$\left|x_{k+2}\right|=\left|\dfrac{1}{2x_{k+1}}+\dfrac{3x_{k+1}}{4}\right|=\left|\dfrac{4+3x_{k+1}^2}{4x_{k+1}}\right|\le 10\cdot \left|\dfrac{1}{4x_{k+1}}\right|=2,5\cdot \left|\dfrac{1}{x_{k+1}}\right|$

А как дальше доказывать?

Как рассуждать наоборот, используя свойства последовательности -- не знаю. Может подскажите -- какие именно свойства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Лучше возведите $n+1$ член в квадрат и запишите нужное неравенство. Преобразуйте его в более простой вид.

Желательно, чтобы вы что-то сделали сами, а не только повторяли за нами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 20:38 


10/02/11
6786
Рассмотрим уравнение $1/2+3x/4=x$ корень этого уравнения $x^*=2$.

Поскольку последовательность не убывает $x_n\ge 1$.

Тогда если $x_n\le x^*$ то

$$x_{n+1}=\frac{1}{2x_n}+\frac{3x_n}{4}\le 1/2+3x^*/4=x^*$$
Поэтому последовательность ограничена сверху двойкой.

для доказательства того, что последовательность возрастает достаточно заметить, что при $x\ge 1$ возрастает функция $f(x)=1/(2x)+3x/4$ и что $f(1)>1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение22.10.2013, 22:57 


10/09/13
214
$x_{n+1}^2=\left(\dfrac{1}{2x_n}+\dfrac{3x_n}{4}\right)^2=\dfrac{1}{4x_n^2}+2\cdot \dfrac{1}{2x_n}\cdot \dfrac{3x_n}{4}+\dfrac{9x_n^2}{16}=\dfrac{1}{4x_n^2}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{9x_n^2}{16}$

$\dfrac{1}{4x_n^2}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{9x_n^2}{16}<2$

$\dfrac{1}{4x_n^2}+\dfrac{9x_n^2}{16}<1,25$

$\dfrac{4+9x_n^4}{16x_n^2}<1,25$

$4+9x_n^4<20x_n^2$

$9x_n^4-20x_n^2+4<0$

$x_n^2=t\ge 0$

$9t^2-20t+4<0$

$\dfrac{2}{9}<t<2$

$\dfrac{2}{9}<x_n^2<2$

Получилось, что из того, что $x_{n+1}^2<2$ следует то, что $\dfrac{2}{9}<x_n^2<2$

Если всю логическую цепочку развернуть в обратную сторону, получится, что из того, что $x_n^2<2$ будет следовать, что $x_{n+1}^2<2$.
А это и есть индукционный переход. База $x_1^2=1<2$

Верно ли это?

-- 22.10.2013, 23:00 --

Oleg Zubelevich в сообщении #778748 писал(а):
Рассмотрим уравнение $1/2+3x/4=x$ корень этого уравнения $x^*=2$.

Поскольку последовательность не убывает $x_n\ge 1$.

Тогда если $x_n\le x^*$ то

$$x_{n+1}=\frac{1}{2x_n}+\frac{3x_n}{4}\le 1/2+3x^*/4=x^*$$
Поэтому последовательность ограничена сверху двойкой.

для доказательства того, что последовательность возрастает достаточно заметить, что при $x\ge 1$ возрастает функция $f(x)=1/(2x)+3x/4$ и что $f(1)>1$


Спасибо, понятно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение23.10.2013, 14:39 


10/09/13
214
Видно ересь написал какую-то :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать ограниченность данной последовательности?
Сообщение23.10.2013, 15:01 


23/11/09
173
Цитата:
для доказательства того, что последовательность возрастает достаточно заметить, что при $x\ge 1$ возрастает функция $f(x)=1/(2x)+3x/4$ и что $f(1)>1$

Возьмем $x_n=4$, тогда $x_{n+1}=1/6+3<x_n$. Последовательность убывает. Противоречие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group