Преобразование Лоренца

[evgeniy]

Предлагается в преобразовании Лоренца вместо скорости света в вакууме писать фазовую скорость, если процесс происходит в диэлектрике, в каждой инерциальной системе координат разную. Т.е. преобразование Лоренца имеет вид
$x=\frac{x'+V't'}{\sqrt{1-V'^{2}/c'_{d}^{2}}}=\frac{x''+V''t''}{\sqrt{1-V''^{2}/c''_{d}^{2}}}$
$c_d t=\frac{c_d' t'+V'x'/c'_d}{\sqrt{1-V'^{2}/c'_{d}^{2}}}=\frac{c'' t''+V''x''/c''_d}{\sqrt{1-V''^{2}/c''_{d}^{2}}}$
причем фазовую скорость надо вычислять из уравнения эйконала для двигающего тела. При этом можно получить зависимость фазовой скорости от скорости двигающегося тела. Построенная таким образом фазовая скорость определяет инвариантное преобразование Лоренца в волновом уравнении, которое имеет вид.
$ \Delta A_l-\frac{1}{c_d^2}\frac{\partial^2 A_l}{\partial t^2}=-4\pi j_l/c_d $
при этом используется четырехмерный потенциал и четырехмерный ток.
Тогда метрический интервал будет сохраняться, имея нулевое значение для электромагнитной волне
$ds^2=c_d^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$
В случае использования в метрическом интервале скорости света в вакууме, метрический интервал в диэлектриках не сохраняется.
При этом фазовая скорость в элементарных частицах равна скорости света в вакууме, т.е. для элементарных частиц останется обычное преобразование Лоренца. Но если тело является диэлектриком, то для него справедливо преобразование Лоренца с фазовой скоростью в возможно двигающемся диэлектрике.

[DimaM]

А польза какая от этого?
С помощью преобразований Лоренца можно, например, найти скорость света в движущемся диэлектрике. А с помощью преобразований evgeniy это можно сделать?

[evgeniy]

Фазовая скорость не является скоростью в обычном понимании, так как модуль фазовой скорости равен, как модуль волнового числа
$\frac{1}{c_d^2}=\frac{1}{c_1^2}+\frac{1}{c_2^2}+\frac{1}{c_3^2}$
Т.е. фазовую скорость нельзя складывать по релятивистской формуле сложения скоростей. Т.е. фазовую скорость в движущемся диэлектрике непосредственно определить нельзя. Можно складывать групповую скорость, которая является истинной скоростью и для которой справедливо
$c^2=c_1^2+c_2^2+c_3^2$
и в случае отсутствия дисперсии можно по групповой скорости определить фазовую.
Я не могу изложить всю теорию определения фазовой скорости в движущемся диэлектрике, скажу только, что для конечного тела и бесконечной среды фазовая скорость разная. Основная идея состоит в том, что у тела конечных и бесконечных размеров фазовая скорость определяется с помощью уравнения эйконала. При этом для тела бесконечных размеров фазовая скорость складывается по релятивистской формуле.

[DimaM]

evgeniy в сообщении #778428 писал(а):

Т.е. фазовую скорость в движущемся диэлектрике непосредственно определить нельзя.

Вот те раз!
Не, таких преобразований народу не нужно.

-- 22.10.2013, 14:49 --

evgeniy в сообщении #778428 писал(а):

Можно складывать групповую скорость, которая является истинной скоростью и для которой справедливо
$c^2=c_1^2+c_2^2+c_3^2$

Поясните, пожалуйста, эту формулу. На примере скорости света в движущемся диэлектрике - чему эта скорость в ЛСО равна?

Физо вот не знал, что фазовую скорость определить нельзя, и построил установку для ея определения, и получил результат, согласующийся с СТО ;).

[Munin]

evgeniy в сообщении #778428 писал(а):

Т.е. фазовую скорость нельзя складывать по релятивистской формуле сложения скоростей.

Вообще-то можно и нужно.

evgeniy в сообщении #778428 писал(а):

Я не могу изложить всю теорию определения фазовой скорости в движущемся диэлектрике

Ага. Потому что вы её не знаете. Ч. т. д.

evgeniy в сообщении #778428 писал(а):

скажу только, что для конечного тела и бесконечной среды фазовая скорость разная.

И это неверно.

[evgeniy]

Уважаемый Мунин!
У Ландау и Лифшица есть параграф 85стр.403 Электродинамика сплошных сред посвященный фазовой скорости . Там правильно вычисляют фазовую скорость по преобразованию волнового вектора и частоты колебаний в задаче к этому параграфу. Так вот, там сказано, что фазовая скорость это не вектор, это не направление переноса какой либо величины, и для нее норма не равна
$c^2=c_1^2+c_2^2+c_3^2$.
Складываются по релятивистской формуле векторы, а так как фазовая скорость не вектор, то она не складывается по релятивистской формуле.
На счет опровержения остальных моих утверждений спорить не буду, так как для их подтверждения пришлось бы излагать по пять страниц текста.

[Munin]

evgeniy в сообщении #778488 писал(а):

У Ландау и Лифшица есть параграф посвященный фазовой скорости. Так вот, там сказано, что фазовая скорость это не вектор, это не направление переноса какой либо величины

Разумеется. Это ковектор. (Ландау-Лифшиц использует название "ковариантный вектор".) Или, другими словами, 1-форма (внешняя форма).

evgeniy в сообщении #778488 писал(а):

Складываются по релятивистской формуле векторы

Нет. Поскольку пространство Минковского - пространство метрическое, то для ковекторов действуют те же законы сложения скоростей, что и для векторов. (В пространстве Галилея законы другие, но тоже легко выводимые из законов для векторов.)

evgeniy в сообщении #778488 писал(а):

На счет опровержения остальных моих утверждений спорить не буду, так как для их подтверждения пришлось бы излагать по пять страниц текста.

А мне потом в этих пяти страницах искать ошибки? Увольте. Я лучше для опровержения изложу одну строчку текста:
Ландау, Лифшиц. Теоретическая физика. Для начала, тома 2 и 8.
Если уж вы считаете себя в силах читать этот (непростой для начинающих) учебник.

-- 22.10.2013 14:57:04 --

Munin в сообщении #778515 писал(а):

Разумеется. Это ковектор. (Ландау-Лифшиц использует название "ковариантный вектор".)

А именно. Если плоская монохроматическая волна записана в виде
$u(x^\mu)=u_0e^{i(\omega t-\mathbf{kx})}=u_0e^{ik_\mu x^\mu},$
то $k_\mu=(\omega,-\mathbf{k})$ - 4-мерный волновой вектор (ковектор). Его направление может быть задано соответствующим вектором $k^\mu=g^{\mu\nu}k_{\nu}=(\omega,\mathbf{k}).$ Сложение скоростей происходит по преобразованиям Лоренца, которые дают для скорости (выражаемой частным $\omega/k$) в 1-мерном случае (3-мерная формула слишком громоздка, мне её лень писать):

$$c^2\biggl(\dfrac{k}{\omega}\biggr)=\dfrac{c^2(k/\omega)'+v}{1+(k/\omega)'v}.$$

Очевидно, эта формула даёт сразу ответ и для волнового ковектора. Конкретные значения $k$ и $\omega$ будут пересчитываться с учётом эффекта Доплера, но для фазовой скорости это несущественно. Итак, мы видим, что фазовая скорость складывается в точности по релятивистскому закону сложения скоростей.

[evgeniy]

Как известно, 1 форма это градиент скаляра, т.е. групповая скорость, и она образует вектор. Я же говорю, что фазовая скорость не вектор.
Преобразуются в преобразовании Лоренца ковариантные и контравариантные векторы, с пространственной частью трехмерным вектором. Но складываются скорости, производные по времени от пространственной части, являющейся пространственным вектором, так что я правильно написал, что по релятивистским формулам складываются векторы (являющиеся пространственной частью ковариантного вектора).
Так вот в задаче к параграфу 85 стр.403 Электродинамика сплошных сред правильно вычислена фазовая скорость, не по формуле релятивистского сложения скоростей, а путем рассмотрения преобразования Лоренца ковариантного вектора частоты и волнового числа и вычисления из этих соотношений фазовой скорости. Сложение фазовой скорости по релятивистской формуле у ЛЛ не рассматривается. Только в плохих учебниках по физике складывается фазовая скорость. По релятивистской формуле складывается вектор групповой скорости.

[Munin]

evgeniy в сообщении #778540 писал(а):

Как известно, 1 форма это градиент скаляра, т.е. групповая скорость, и она образует вектор.

1-форма - это градиент скаляра. Если в качестве скаляра выступает фаза волны, то образуется волновой вектор.

А групповая скорость - это не градиент скаляра :-)

evgeniy в сообщении #778540 писал(а):

Я же говорю, что фазовая скорость не вектор.

Ну, это ваши проблемы :-)

evgeniy в сообщении #778540 писал(а):

Но складываются скорости, производные по времени от пространственной части

Вы просто не поняли темы "сложение скоростей". Складываются по закону сложения скоростей - тангенсы угла наклона любых 4-векторов. Никакие производные тут не нужны.

evgeniy в сообщении #778540 писал(а):

так что я правильно написал

Так что вы неправильно написали.

evgeniy в сообщении #778540 писал(а):

Сложение фазовой скорости по релятивистской формуле у ЛЛ не рассматривается.

А могло бы рассматриваться. Без разницы, какую формулу применять, если они между собой эквивалентны.

evgeniy в сообщении #778540 писал(а):

Только в плохих учебниках по физике складывается фазовая скорость.

Вы не знаете темы, и поэтому не имеете права судить, какие учебники плохие, а какие хорошие.

evgeniy в сообщении #778540 писал(а):

По релятивистской формуле складывается вектор групповой скорости.

Это верно. Но это не противоречит тому, что сказано про фазовую скорость.

[evgeniy]

Munin в сообщении #778548 писал(а):

evgeniy в сообщении #778540
писал(а):
Сложение фазовой скорости по релятивистской формуле у ЛЛ не рассматривается.
А могло бы рассматриваться. Без разницы, какую формулу применять, если они между собой эквивалентны.

В том то и дело, что они не эквивалентны. Они эквивалентны в первом порядке по скорости. Не даром ЛЛ не использует формулу релятивистского сложения скоростей, а переходит к преобразованию Лоренца частоты и волнового вектора. причем даже в линейном приближении формулы отличаются, у ЛЛ содержится член $\frac{\partial n}{\partial \omega}$.
То, что фазовая скорость не вектор, это важный физический факт и его надо знать.
А раз она не вектор, эта величина не может складываться как вектор.

[Munin]

evgeniy в сообщении #778571 писал(а):

В том то и дело, что они не эквивалентны. Они эквивалентны в первом порядке по скорости.

Нет. Приведённые мной формулы точны.

evgeniy в сообщении #778571 писал(а):

Не даром ЛЛ

Даром. Ещё там используются приближённые вычисления, когда легко можно было бы проделать точные. Не знаю, чего они поленились.

evgeniy в сообщении #778571 писал(а):

причем даже в линейном приближении формулы отличаются, у ЛЛ содержится член $\frac{\partial n}{\partial \omega}$.

Это вы с групповой скоростью спутали. В групповой дифференцирование по частоте (или по длине волны) идёт. В фазовой оно не нужно.

evgeniy в сообщении #778571 писал(а):

То, что фазовая скорость не вектор, это важный физический факт и его надо знать.
А раз она не вектор, эта величина не может складываться как вектор.

Марш читать формулы!!!

Лентяй!

[evgeniy]

Я ничего не спутал. Читайте ЛЛ 405 страница параграфа 85, формула для фазовой скорости
$\frac{\omega}{k}=c/n+(\vec v,\vec l)(1-\frac{1}{n^2}+\frac{\omega}{n} \frac{\partial n}{\partial \omega})$
И перестаньте читать нравоучения, еще неизвестно кому надо почитать учебник ЛЛ и разобраться, что такое фазовая скорость.

[Munin]

То, что где-то можно выписать фазовую скорость через групповую, не значит, что она на самом деле от групповой зависит.

-- 22.10.2013 20:27:28 --

А собственно, чего я маюсь. Берёте ЛЛ-8 § 85 ваш любимый. И выполняете упражнение: найти решения задач 1 и 2, но для фазовой скорости, и точно (не в приближениях до 1-2 порядка). Решение в формализме ЛЛ-2 выпишите сюда. Когда справитесь (если справитесь), тогда перейдём к реальным задачам, написанным у Ландау (с групповой скоростью). Может, вы их тогда поймёте (а не только прочитать сможете).

[evgeniy]

Выведем формулу для фазовой скорости в опыте Физо с помощью ковариантного вектора, состоящего из частоты и волнового числа без учета дисперсии.
Для штрихованной двигающейся системы координат имеем
$ ck’_1=\omega’n\eqno(1) $
При этом имеем связь координат штрихованной и не штрихованной
$ \omega’=(\omega-k_1 V)\gamma$
$ k’_1=(k_1-\frac{\omega}{c^2}V)\gamma$
Подставляем штрихованные координаты в (1), получим
$ с(k_1-\frac{\omega}{c^2}V) =(\omega-k_1 V)n$
Выделяем величину $ k_1$
$ c k_1 (1+Vn/c)=\omega(n+V/c) $
разрешаем относительно величины $ \frac{\omega}{k_1}$, получим
$ \frac{\omega}{k_1}=\frac{c/n+V}{1+V/(cn)} $
Казалось бы получена правильная формула для сложения фазовой релятивистской формулы. Но это только кажется. Кроме этой компоненты фазовой скорости, есть другие компоненты $ \frac{\omega}{k_2}, \frac{\omega}{k_3}$ и значит, релятивистская формула для сложения фазовой скорости не верна.
Повторяю, фазовая скорость не вектор, ее компоненты равны $ \frac{\omega}{k_1}\frac{\omega}{k_2}, \frac{\omega}{k_3}$, а вектором являются величины $ k_1,k_2,k_3$ . При условии $ k_1=0$ , т.е. отсутствии волнового движения в этом направлении, фазовая скорость равна бесконечности.
Для фазовой скорости справедливо
$ k^2=(\frac{\omega}{c_1})^2+(\frac{\omega}{c_2})^2+( \frac{\omega}{c_3})^2$
а не квадратичная норма
$ c^2=c_1^2+c_2^2+c_3^2$
поэтому она не является вектором.
Но при всем при этом формула для фазовой скорости справедлива для бесконечного двигающего пространства, когда нет поперечных границ, и нет координаты, с которой можно связать поперечную фазовую скорость. При этом есть движение в одном направлении. Для конечного пространства двигающегося с той же скоростью получается другая формула для фазовой скорости, что следует из рассмотренного вычисления фазовой скорости.
Фазовая скорость, это скаляр, образующий изменение фазы волны на сфере, причем поверхность сферы равновероятна. При этом суммарный эффект фазовой скорости может быть направленный, исходя из определенной поверхности. Фазовая скорость в случае отсутствия дисперсии совпадает с модулем групповой скоростью. Фазовая скорость не может равняться нулю, иначе частота равна нулю или модуль групповой скорости равен бесконечности, что невозможно. Определение фазовой скорости и ее физический смысл, это уравнение эйконала
$ (\frac{\partial \tau}{\partial x_1})^2+(\frac{\partial \tau}{\partial x_2})^2+(\frac{\partial \tau}{\partial x_3})^2=\frac{1}{c^2}$

[evgeniy]

Покажем, что выражение для фазовой скорости точно вычислить нельзя.
Для штрихованной двигающейся системы координат имеем
$ ck’_1=\omega’n\eqno(1) $
При этом имеем связь координат штрихованной и не штрихованной
$ \omega’=(\omega-k_1 V)\gamma$
$ k’_1=(k_1-\frac{\omega}{c^2}V)\gamma$
$ k’_2=k_2$
$ k’_3=k_3$
Подставляем штрихованные координаты в возведенное в квадрат (1), получим
$ c^2[(k_1-\frac{\omega}{c^2}V)^2+k_2^2+k_3^2] =(\omega-k_1 V)^2n^2$
При этом невозможно выделить квадрат волнового числа, т.е. невозможно точно определить фазовую скорость с помощью волновых чисел.