Подсчитать число диаграмм Юнга

[Lyssa]

Не получается подсчитать число диаграмм Юнга без ограничений на вес, но имеющих не более p строк и не более q столбцов.

Если обозначить число диаграмм, имеющих ровно p строк и q столбцов как $\varphi(p,q)$, а число диаграмм, имеющих не более p строк и не более q столбцов как $\psi(p,q)$, то можно увидеть следующее соотношение:
$\varphi(p+1,q+1) = \psi(p,q) + 1$

Также я пробовала нарисовать сетку размером p на q, но наглядности это не добавило. Возможно, нужно как-то сопоставить диаграмму и ее границу, но не совсем понятно, как это сделать.

[Urnwestek]

А что значит "подсчитать"? Производящую функцию / рекуррентную формулу найти?

[Lyssa]

Не, там ответ в явном виде: $C_{p+q}^q - 1$

[Whitaker]

Lyssa
Каждой диаграмме Юнга соответствует ее граница.
Так как число строк не превосходит $p$, а число столбцов $q.$ Всего получаем $P(p,q)=C_{p+q}^p$ границ, но мы еще исключаем "нулевую" диаграмму. В итоге получаем: $C_{p+q}^p-1$

[Lyssa]

Можете пояснить, как вы считаете число границ? Не могу разобраться.

[Whitaker]

Допустим у Вас на клетчатой плоскости есть прямоугольник с высотой $p$ и шириной $q$.
Мы заметили, что каждой диаграмме соответствует ее граница.
Любой границе можно в соответствии поставить последовательность из нулей и единиц, где $p$ единиц и $q$ нулей.
1 -- мы делаем 1 шаг вниз.
0 -- мы делаем 1 шаг вправо.
Таким образом, у нас получается перестановки с повторениями. Всего получаем $P(p,q)=C_{p+q}^q$
Еще исключаем нулевую последовательность. Получаем что всего таких диаграмма $C_{p+q}^q-1$

[Lyssa]

А двигаемся в каком направлении и откуда? Например, пусть у нас $p=3$, а $q = 5$.
▓▓▓▓▓
▓▓▒▒▒
▓▒▒▒▒
Тогда какая последовательность нулей и единиц соответствует приведенной диаграмме?

[Whitaker]

Lyssa в сообщении #777991 писал(а):

Тогда какая последовательность нулей и единиц соответствует приведенной диаграмме?

Ну вот так: 01010001
начинаем "движение" с левого нижнего до правого верхнего угла.
Теперь Вам понятно?

[Lyssa]

Ага, разобралась, спасибо!