Механика Твердого Тела(тензор)

[Devin]

Здравствуйте. Начал решать задачку и застрял. Прошу дать подсказку, параграв на учебник или ссылку. Или объясните пожалуйста, что именно делать.
Задачка такая
10 0 3
0 5 0
2 0 7
1) Найти главные напряжения и главные оси
2) Найти значения всех компонент тензора в осях повернутых в плоскости yz на 120 градусов.
3) Построить круговую диограмму мора
4) Посчитать параметр Ламэ.
Первый пункт я вроде сделал. Хотя тоже прошу проверить правильно ли?
https://www.dropbox.com/s/tslebi8ta7pqhkt/Binder1.pdf
Застрял на втором пункте. Искал во множестве учебниках и гугле, ничего конкретного не нашел.
Понятно мы должны использовать матрицу поворота как-то. Но я не понимаю как ее использовать для моей задачи.

Очень нужна ваша помощь. Заранее спасибо! :)

[Андрей123]

Начните с того, как определить вектор усилия на произвольной площадке, и определения компонент тензора напряжений.

[Devin]

Спасибо за ответ!
Я кажется понял что примерно делать. Только у меня вопрос.
Угол между нормалью и всем осями равен 45 градусов?
(Мы сейчас находим просто главные напряжение, не поворот)
https://www.dropbox.com/s/5uaigsc9bjytxj7/image.jpg

[Андрей123]

Цитата:

Мы сейчас находим просто главные напряжение, не поворот

Этого я не понял. Для нахождения главных напряжений надо решить характеристическое уравнение.

Цитата:

Угол между нормалью и всем осями равен 45 градусов?

Нормалью к чему? И не может у вектора угол со всеми осями быть 45 градусов.

[Devin]

Прошу прощения, я описался. Я имел ввиду всех значений компонент. Главные напряжения я вроде нашел.(пункт 1)
Вектор n есть нормаль относительно плоскости ABC(посмотрите пожалуйста ссылку в третьем сообщение.
Если в уме провести проекции. Вроде угол получается 45' ко всем осям.(но как я понимаю этот параграф из учебника мне не поможет)

1) Я должен найти 9 компонент?
2) Эти компоненты и есть матрица в самом первом сообщение?
3) я должен найти другую матрицу(другие значения)
Для этого я должен использовать формула 1.3.3 из этого учебника, стр 19?
http://www.math.spbu.ru/user/narbut/narbut.pdf

[Андрей123]

Для начала напишите координаты векторов базиса новой системы координат, т.е. системы координат, повернутой в плоскости yz на 120 градусов

[Devin]

Базис в общем случае
$\vec a = x \vec e_{1} + y \vec e_{1}$
сразу на ум вспоминается формула поворота

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x = x' cos 60 - y' sin 60 \\ y = x' sin 60 + y' cos 60 \\ \end{array} \right. $$

также читал эти статьи, к сожалению не догадался как их использовать в моей задачке
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 1%82%D0%B0
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 0%B4%D0%B0
Т.е. вопрос. Что есть x и y из моей матрицы?
Что-то я совсем запутался

[Андрей123]

А почему Вы пишете в плоскости, напишите в пространстве.

$$ \vec e_1=a_{11} \vec i+a_{12} \vec j+a_{13} \vec k, \vec e_2=a_{21} \vec i+a_{22} \vec j+a_{23} \vec k, \vec e_3=a_{31} \vec i+a_{32} \vec j+a_{33} \vec k, $$

Компоненты $a_{ij}$ есть компоненты матрицы перехода от исходного базиса к требуемому. Ось $x$ остается на месте, а оси $y,z$ преобразуются похоже на то, что Вы написали. Нарисуйте картинку и посмотрите, что получится.

[Devin]

Спасибо что помогаете мне, пункт два я решил. Там вобщем нужно было умножить на матрицу перехода когда вращается ось X. И пулучаем нащи значения.
Теперь пункт 3; диаграмма мора. Здесь тоже есть некоторые сложности для меня.
То что я понял, я должен найти нормальные напряжения(для начала)
$\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ а я получается их уже нашел(пункт 1), так как главные напряжения это когда действуют только нормальные напряжения.
Но я должен их выбрать в порядке возрастания чтобы получились "точки окружности".
Если все что я сказал более или менее правильно. Тогда я должен использовать формулы из 28 страницы данного учебника?
http://www.math.spbu.ru/user/narbut/narbut.pdf
$\tau_{n} = \frac{\sigma_{x} - \sigma_{z}}{2}}$ и $\sigma_{n} = \frac{\sigma_{x} + \sigma_{z}}{2}}$
с учетом что $\sigma_{x} < \sigma_{y} < \sigma_{z}$
И строить диаграмму Мора. По форме она должна быть похожа как в учебнике?