Точка ветвления решения обыкновенных дифференциальных ур-ний

[evgeniy]

Рассмотрим решение обыкновенного дифференциального уравнения
$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)}$
Решение в окрестности $a_1$, ищем в виде $x=a_1+\beta (t-t_0)^{\alpha}+...$
Подставляем в дифференциальное уравнение, получим
$\alpha (a_1-a_2)(a_1-a_3)\beta^2 (t-t_0)^{2\alpha-1}=1+0[(t-t_0)^\alpha]$
из этого уравнения получаем $\alpha=1/2$ и значение коэффициента $\beta=\frac{1}{\sqrt{\alpha (a_1-a_2)(a_1-a_3)}}$.
При этом можно продолжать решение через точку ветвления и получить два численных решения обыкновенного дифференциального уравнения, комплексные, при действительном $\beta$.
В учебнике Понтрягина это уравнение рассматривается как не продолжаемое решение дифференциального уравнения.

[evgeniy]

Приведу способ вычисления константы $t_0$. Допустим в момент времени $t_1$ решение при численном счете приблизилось к точке $a_1$ и равно $x_1$, тогда константа $t_0$ определится из уравнения $x_1=a_1+\beta \sqrt{t_1-t_0}$.
Причем константа $\beta$ может оказаться мнимой, при этом $t_0=t_1-\frac{(x_1-a_1)^2}{\beta^2}$ и при мнимом $\beta=\frac{1}{\sqrt{\alpha (a_1-a_2)(a_1-a_3)}}$ получим действительную величину $x_1=a_1+\beta\sqrt{t-t_0}=a_1+\beta \sqrt{t-t_1+\frac{(x_1-a_1)^2}{\beta^2}}$ при мнимом $\beta$, при дальнейшем увеличении t решение становится комплексным.

[shwedka]

Недурно было бы, прежде, чем опровергать учебники,
их немного почитать.

Смотрим определение из цитированного учебника. Что такое решение ду.
Стр. 8 издания 1974 года.

Решением уравнения (1) называется такая
функция $x = \phi(t)$ независимого переменного $t$, определенная на некотором
интервале $r_1<t<r_2$ (случаи $r_1= -\infty, r_2 = \infty$ не исключаются),
что при подстановке ее вместо $x$ в соотношение (1) мы получаем тождество на всем интервале . Интервал $r_1<t<r_2$
называется интервалом определения решения $x= \phi(t)$. Очевидно, что
подстановка $x = \phi(t)$ в соотношение (1) возможна лишь тогда, когда
функция $\phi(t) $на всем интервале $r_1<t<r_2$ имеет первую
производную (и, в частности, непрерывна).

Функции, которые Вы пытаетесь выдать за решение, не имеют производной в точке $t_0$, и по вышеприведенному определению решениями на промежутке, содержащем эту точку, не являются. Не являются они и продолжениями каких-либо решений.

[evgeniy]

Действительно в точке $t=t_0$ функция не является решением дифференциального уравнения, так как в этой точке правая часть, как и левая часть стремится к бесконечности, причем с одинаковой скоростью, так как подставив решение в виде ряда в уравнение и в точке $t=t_0$ получим тождественный предельный переход. А если записать уравнение в виде
$\frac{(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)dx}{dt}=1$
то получим тождество.
А насчет определения решения, его можно и изменить. Главное в окрестности точки $t=t_0$ решение существует и оно продолжаемое. Причем можно вычислить и следующие члены ряда решения.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #779484 писал(а):

А насчет определения решения, его можно и изменить.

когда станете академиком, будете изменять определения.

Цитата:

Главное в окрестности точки $t=t_0$ решение существует

когда докажете, будет существовать.

[evgeniy]

Shwedka не будьте бюрократом. Мое дело предложить решение, а доказывать сходимость ряда, которая определяется при малом $t-t_0$ мне не интересно, тем более что Вы придираетесь к каждому моему слову. Мое дело сообщить интересную идею, а математики пусть ее обосновывают. А эта идея интересна, из не существующего в литературе решения получить точку ветвления.
Можете прикрыть тему, больше на эту тему я не отвечаю.
А на счет академика я могу сказать, что в науке все равны, и академик может говорить глупости и умные вещи может говорить и не академик.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #779508 писал(а):

Мое дело сообщить интересную идею, а математики пусть ее обосновывают.

Учитывая Вашу репутацию, математики поставят Вашу 'интересную идею', противоречащую базовым математическим знаниям, в дальний конец последней очереди.