Найти чистые и смешанные равновесия

[hello19]

Описание игры:
Двое скидываются на пальцах. Можно выкинуть одну из семи фигур: камень, ножницы, бумага, карандаш, огонь, вода или бутылка лимонада. При это фигуры бьют друг друга по циклу, т.е. камент побеждает ножницы, ножницы - бумагу, бумага - карандаш, ..., бутылка лимонада - камень. Все остальные расклады играют вничью.
Вопрос:

1. Есть ли в этой игре смешанные равновесия?
2. Опишите все смешанные равновесия.

Для начала решил выписать матрицу это биматричной игры. Получилось следующее:
$\begin{bmatrix}0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 \\\ -1;1 & 0;0 &1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 \\\ 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 \\\ 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 \\\ 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 \\\ 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 \\\ 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0\end{bmatrix} $
Посмотрев на матрицу решил, что в чистых стратегиях равновесия нет. Так ли это в действительности?

Что касается смешанных стратегий, то тут решил подойти к решению как во всех учебниках, т.е. дописать вектор вероятностей $(a, b, c, d, e, f, g)$ с условием, что сумма координат равна 1 и выписать выигрыш второго игрока. В итоге все свелось к тому, необходимое распределение описывает следующее уравнение:
$a + b + c + d + e + f + g = 1 $
Я вот не пойму правильно ли я сделал и что делать дальше

[provincialka]

Эта задача проще предыдущей. Игра ведь антагонистическая. Поэтому писать выигрыш второго игрока не обязательно.
Равновесная ситуация в чистых стратегиях соответствует седловой точке матрицы (выигрыши первого): максимум по столбцу является минимумом по строке.

Большое подозрение, что смешанные равновесные стратегии дают нулевой выигрыш и получаются при равных вероятностях. И действительно, с чего бы игрокам иметь преимущество в такой игре?

[hello19]

Если я правильно понимаю, то чистых равновесий тут нет.
Что касается смешанных стратегий, то, даже не знаю как и доказать, что вероятности по стратегиям равны..

[provincialka]

Пусть первый игрок выбрал смешанную стратегию $(p_1, ..., p_7), \sum p_i=1$. Может ли он гарантированно получить положительный выигрыш? Найдите его выигрыш при каждой стратегии соперника и потребуйте, чтобы он был больше 0; не меньше 0.

[hello19]

Что-то я не понимаю...
Нахожу выигрыш первого игрока при каждой стратегии второго.
Получается 7 неравенств типа: $p_{2} - p_{7} \geq 0$ и так далее.
В итоге не получается решить эту систему неравенст. Что я делаю не так?

-- 20.10.2013, 19:06 --

Собственно порывшись немного в литературе решил эту задачу.
Для начала находим нижнюю и верхнюю цены игры. Так уж сложилось, что максимальное число по столбцам (по всем) будет = 1. Минимальное по строкам (по всех) = -1. Получается, что верхняя цена игры и нижняя не совпадают, то седловой точки нет, т.е. нет равновесия. Кроме того, понимаем, что цена игры $-1 \leq y \leq 1$
Доминирующих стратегия ни по столбцам ни по строкам нет. В конечном итоге приходим к выводу, что равновесия в чистых стратегиях нет.
Теперь рассмотрим смешанные стратегии. Запишем систему уравнений для игрока I:
$-p_2+p_7 = y $
$p_1-p_3 = y $
$p_2-p_4 = y $
$p_3-p_5 = y $
$p_4-p_6 = y $
$p_5-p_7 = y $
$-p_1+p_6 = y $
$p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6+p_7 = 1$
Для игрока II
$q_2-q_7 = y $
$-q_1+q_3 = y $
$-q_2+q_4 = y $
$-q_3+q_5 = y $
$-q_4+q_6 = y $
$-q_5+q_7 = y $
$q_1-q_6 = y $
$q_1+q_2+q_3+q_4+q_5+q_6+q_7 = 1$
Решая эти системы находим смешанные стратегии игроков:
Оптимальная смешанная стратегия игрока I: $P = (1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7)$
Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = $(1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7) $
Цена игры = 0
Теперь что касается случая, если участвую не 7, а 6 фигур (без бутылки), но они также бьют друг друга по циклу. Матрицы игры здесь будет иметь вид:
$\begin{bmatrix}0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 \\\ -1;1 & 0;0 &1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 \\\ 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 \\\ 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 \\\ 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 \\\ 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 \end{bmatrix} $
Ситуация похожая: нет равновесия в чистых стратегиях. Цена игры опять колеблется в пределах от -1 до 1. Доминируемых стратегий нет. Однако, после рассмотрения смешанных стратегий и нахождения оптимальных смешанных стратегий игроков получаем следующий результат:
Оптимальная смешанная стратегия игрока I: $P = (1/3; 0; 1/3; 0; 1/3; 0) $
Оптимальная смешанная стратегия игрока II: $Q = (0; 1/3; 0; 1/3; 0; 1/3) $
Цена игры = 0.

[provincialka]

Все правильно, хотя можно короче. Можно воспользоваться симметрией игры, а также тем, ответ (нулевой выигрыш) здесь очевиден. Кстати, в игре с нулевой суммой достаточно рассмотреть выигрыш первого игрока:
$\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0& 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 &1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0& 1 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix} $
Если второй игрок выберет стратегию 1, выигрыш первого будет $p_7-p_2$. Он будет неотрицательным, если $p_7\ge p_2$. Такие же неравенства записываем для остальных стратегий второго игрока. Полученные неравенства будут выстраиваться в цепочку $p_7\ge p_2\ge p_4\ge p_6\ge p_1\ge p_3 \ge p_5\ge p_7$. Цикл замкнулся. Значит, все эти неравенства могут выполняться только в случае равенства $p_i$. При этом выигрыш первого игрока равен во всех случаях 0. Значит, цена игры не больше 0. Но и не меньше, так как для второго игрока рассуждения аналогичные.

В случае четного числа стратегий неравенста разбиваются на два цикла, так что равновесную стратегию можно составить из 3 чистых.