2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти чистые и смешанные равновесия
Сообщение20.10.2013, 01:07 


21/07/11
105
Описание игры:
Двое скидываются на пальцах. Можно выкинуть одну из семи фигур: камень, ножницы, бумага, карандаш, огонь, вода или бутылка лимонада. При это фигуры бьют друг друга по циклу, т.е. камент побеждает ножницы, ножницы - бумагу, бумага - карандаш, ..., бутылка лимонада - камень. Все остальные расклады играют вничью.
Вопрос:

1. Есть ли в этой игре смешанные равновесия?
2. Опишите все смешанные равновесия.

Для начала решил выписать матрицу это биматричной игры. Получилось следующее:
$\begin{bmatrix}0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 \\\ -1;1 & 0;0 &1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 \\\ 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 \\\ 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 \\\ 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 \\\ 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 \\\ 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0\end{bmatrix} $
Посмотрев на матрицу решил, что в чистых стратегиях равновесия нет. Так ли это в действительности?

Что касается смешанных стратегий, то тут решил подойти к решению как во всех учебниках, т.е. дописать вектор вероятностей $(a, b, c, d, e, f, g)$ с условием, что сумма координат равна 1 и выписать выигрыш второго игрока. В итоге все свелось к тому, необходимое распределение описывает следующее уравнение:
$a + b + c + d + e + f + g = 1   $
Я вот не пойму правильно ли я сделал и что делать дальше

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти чистые и смешанные равновесия
Сообщение20.10.2013, 08:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Эта задача проще предыдущей. Игра ведь антагонистическая. Поэтому писать выигрыш второго игрока не обязательно.
Равновесная ситуация в чистых стратегиях соответствует седловой точке матрицы (выигрыши первого): максимум по столбцу является минимумом по строке.

Большое подозрение, что смешанные равновесные стратегии дают нулевой выигрыш и получаются при равных вероятностях. И действительно, с чего бы игрокам иметь преимущество в такой игре?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти чистые и смешанные равновесия
Сообщение20.10.2013, 13:45 


21/07/11
105
Если я правильно понимаю, то чистых равновесий тут нет.
Что касается смешанных стратегий, то, даже не знаю как и доказать, что вероятности по стратегиям равны..

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти чистые и смешанные равновесия
Сообщение20.10.2013, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Пусть первый игрок выбрал смешанную стратегию $(p_1, ..., p_7), \sum p_i=1$. Может ли он гарантированно получить положительный выигрыш? Найдите его выигрыш при каждой стратегии соперника и потребуйте, чтобы он был больше 0; не меньше 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти чистые и смешанные равновесия
Сообщение20.10.2013, 17:19 


21/07/11
105
Что-то я не понимаю...
Нахожу выигрыш первого игрока при каждой стратегии второго.
Получается 7 неравенств типа: $p_{2} -  p_{7}   \geq 0$ и так далее.
В итоге не получается решить эту систему неравенст. Что я делаю не так?

-- 20.10.2013, 19:06 --

Собственно порывшись немного в литературе решил эту задачу.
Для начала находим нижнюю и верхнюю цены игры. Так уж сложилось, что максимальное число по столбцам (по всем) будет = 1. Минимальное по строкам (по всех) = -1. Получается, что верхняя цена игры и нижняя не совпадают, то седловой точки нет, т.е. нет равновесия. Кроме того, понимаем, что цена игры $-1  \leq y  \leq 1$
Доминирующих стратегия ни по столбцам ни по строкам нет. В конечном итоге приходим к выводу, что равновесия в чистых стратегиях нет.
Теперь рассмотрим смешанные стратегии. Запишем систему уравнений для игрока I:
$-p_2+p_7 = y $
$p_1-p_3 = y $
$p_2-p_4 = y $
$p_3-p_5 = y $
$p_4-p_6 = y $
$p_5-p_7 = y $
$-p_1+p_6 = y $
$p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6+p_7 = 1$
Для игрока II
$q_2-q_7 = y $
$-q_1+q_3 = y $
$-q_2+q_4 = y $
$-q_3+q_5 = y $
$-q_4+q_6 = y $
$-q_5+q_7 = y $
$q_1-q_6 = y $
$q_1+q_2+q_3+q_4+q_5+q_6+q_7 = 1$
Решая эти системы находим смешанные стратегии игроков:
Оптимальная смешанная стратегия игрока I: $P = (1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7)$
Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = $(1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7; 1/7) $
Цена игры = 0
Теперь что касается случая, если участвую не 7, а 6 фигур (без бутылки), но они также бьют друг друга по циклу. Матрицы игры здесь будет иметь вид:
$\begin{bmatrix}0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 \\\ -1;1 & 0;0 &1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 \\\ 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 & 0;0 \\\ 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1 & 0;0 \\\ 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 & 1;-1  \\\ 1;-1 & 0;0 & 0;0 & 0;0 & -1;1 & 0;0 \end{bmatrix} $
Ситуация похожая: нет равновесия в чистых стратегиях. Цена игры опять колеблется в пределах от -1 до 1. Доминируемых стратегий нет. Однако, после рассмотрения смешанных стратегий и нахождения оптимальных смешанных стратегий игроков получаем следующий результат:
Оптимальная смешанная стратегия игрока I: $P = (1/3; 0; 1/3; 0; 1/3; 0) $
Оптимальная смешанная стратегия игрока II: $Q = (0; 1/3; 0; 1/3; 0; 1/3) $
Цена игры = 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти чистые и смешанные равновесия
Сообщение20.10.2013, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Все правильно, хотя можно короче. Можно воспользоваться симметрией игры, а также тем, ответ (нулевой выигрыш) здесь очевиден. Кстати, в игре с нулевой суммой достаточно рассмотреть выигрыш первого игрока:
$\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0& 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 &1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0& 1 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix} $
Если второй игрок выберет стратегию 1, выигрыш первого будет $p_7-p_2$. Он будет неотрицательным, если $p_7\ge p_2$. Такие же неравенства записываем для остальных стратегий второго игрока. Полученные неравенства будут выстраиваться в цепочку $p_7\ge p_2\ge p_4\ge p_6\ge p_1\ge p_3 \ge p_5\ge p_7$. Цикл замкнулся. Значит, все эти неравенства могут выполняться только в случае равенства $p_i$. При этом выигрыш первого игрока равен во всех случаях 0. Значит, цена игры не больше 0. Но и не меньше, так как для второго игрока рассуждения аналогичные.

В случае четного числа стратегий неравенста разбиваются на два цикла, так что равновесную стратегию можно составить из 3 чистых.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group