Функция непрерывная в точке обратная к которой не непрерывна

[Urnwestek]

Собственно, надо найти обратимую функцию $f: X \to Y$, непрерывную в $x_0 \in X \subset \mathbb{R}$, такую, что $f^{-1}:Y \to X$ не непрерывна в $y_0 = f(x_0) \in Y \subset \mathbb{R}$.
Никак не могу придумать, пробовал функции вида

$$ f(x)=\begin{cases} x^3,&\text{если $x \in \mathbb{Q}$;}\\ x,&\text{если $x \notin \mathbb{Q}$;}\\ \end{cases} $$

и что-то ничего не получается. В каком направлении думать?

-- 19.10.2013, 20:05 --

Кажется придумал:

$$f : \{\frac{p}{q} : p,q \in \operatorname{PRIME}\} \cup \{0\} \to \{\frac{1}{pq} : p,q \in \operatorname{PRIME}\} \cup \{0\}$$

$$ f(\frac{p}{q})=\begin{cases} \frac{1}{pq},&\text{если $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \text{ и } p,q \text{ — простые целые числа или 1 и } |p|<|q|$;}\\ 0,&\text{если $\frac{p}{q} = 0$;}\\ \end{cases} $$

тогда функция обратима, в точке 0 непрерывна но обратная функция, очевидно, не непрерывна в нуле.

[Oleg Zubelevich]

биекция $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ с топологиями в $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ индуцированными из $\mathbb{R}$

[Urnwestek]

Oleg Zubelevich в сообщении #777369 писал(а):

биекция $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$

Но ведь в $\mathbb{Z}$ вообще нету предельных точек, значит и функция не может быть непрерывной ни в одной точке. Не?

[mihailm]

$X$ из двух разделенных промежутков, которые переходят в один промежуток; функция монотонна

[Oleg Zubelevich]

Urnwestek в сообщении #777371 писал(а):

Но ведь в $\mathbb{Z}$ вообще нету предельных точек, значит и функция не может быть непрерывной ни в одной точке. Не?

На пространстве с дискретной топологией любое отображение является непрерывным: прообраз открытого множества открыт

[Urnwestek]

Oleg Zubelevich в сообщении #777377 писал(а):

На пространстве с дискретной топологией любое отображение является непрерывным: прообраз открытого множества открыт

Не, тут без читов, топология везде должна быть естественной.

mihailm в сообщении #777372 писал(а):

$X$ из двух разделенных промежутков, которые переходят в один промежуток; функция монотонна

Что-то не сообразил пока что, где у $X$ будет предельная точка.

[Oleg Zubelevich]

Urnwestek в сообщении #777381 писал(а):

Не, тут без читов, топология везде должна быть естественной.

а она естественная, она индуцирована из $\mathbb{R}$

-- Сб окт 19, 2013 22:51:18 --

некоторые школьники склонны считать решение неправильным, если они его не понимают

[Urnwestek]

Oleg Zubelevich в сообщении #777383 писал(а):

а она естественная, она индуцирована из $\mathbb{R}$

Ну это-то возможно, но у Зорича, может быть, немного другая система определений. У него функция может быть непрерывной в точке $x_0$ если только $x_0$ предельная для области определния $f$, а предельной для подмножества вещественных чисел $A$ он называет такую точку $a$, у которой любая проколотая окрестность $a$ содержит хотя бы один элемент из $A$. А проколотой окрестностью точки $a$ он называет любое множество вида $\{x \in \mathbb{R} : l,r \in \mathbb{R}\ \text{; }l<x<r\text{; } l<a<r\} /\{a\}$ так что такое, никак в эту систему ваше $\mathbb{Z}$ не вписывается, хотя с точки зрения общей топологии это, может быть, и правильно.

-- 19.10.2013, 22:03 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #777383 писал(а):

некоторые школьники склонны считать решение неправильным, если они его не понимают

Не совсем понятно к чему это было сказано, пропущу мимо глаз.

[Otta]

Urnwestek
1) Даже если не говорить слов про дискретную топологию, а ограничиться тем определением непрерывности, которое у Вас есть, легко видеть, что в изолированной точке области определения функция всегда непрерывна. Убедитесь. В систему определений Зорича это вполне вписывается.

Urnwestek в сообщении #777381 писал(а):

Что-то не сообразил пока что, где у $X$ будет предельная точка.

2) Легко делается пример, когда все точки предельные. Это неважно. Важно, где непрерывность ломается. mihailm имел в виду пример наподобие

$$f(x)=\begin{cases} x, x\in [0,1]\\ x-1, x\in (2,3].\end{cases}$$

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Otta завидую Вашему терпению. Я объясняю только до тех пор пока студент пытается понять. Когда студент свое непонимание начинает выражать словами типа: "это неверно, а должно быть так", я его просто посылаю. Что бы он имел возможность догулять со своим сверхценным мнением до экзамена

[Urnwestek]

Otta в сообщении #777386 писал(а):

1) Даже если не говорить слов про дискретную топологию, а ограничиться тем определением непрерывности, которое у Вас есть, легко видеть, что в изолированной точке области определения функция всегда непрерывна. Убедитесь. В систему определений Зорича это вполне вписывается.

Действительно, почему-то подумал, что функция может быть непрерывна только в предельной точке.

Otta в сообщении #777386 писал(а):

$$f(x)=\begin{cases} x, x\in [0,1]\\ x-1, x\in (2,3].\end{cases}$$

Да, теперь понятно, определения не так в голове устоялись. Спасибо.

-- 19.10.2013, 22:26 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #777388 писал(а):

Otta завидую Вашему терпению. Я объясняю только до тех пор пока студент пытается понять. Когда студент свое непонимание начинает выражать словами типа: "это неверно, а должно быть так", я его просто посылаю. Что бы он имел возможность догулять со своим сверхценным мнением до экзамена

Какое счастье, что я не ваш студент; преподавателей, которые додумывают что-то за студента, а потом на это что-то сами же и обижаются нужно давить как тараканов.

[Otta]

Oleg Zubelevich

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #777388 писал(а):

Otta завидую Вашему терпению. Я объясняю только до тех пор пока студент пытается понять. Когда студент свое непонимание начинает выражать словами типа: "это неверно, а должно быть так", я его просто посылаю. Что бы он имел возможность догулять со своим сверхценным мнением до экзамена

Я сама ему иногда завидую.
Имхо, если студент начал спорить, это не значит, что он неизлечим. Это значит, что он уже как-то по-своему понял, а если его понимание неверное, что бы ему об этом не сказать. Пока он не дошел до экзамена, где, вероятнее всего, ворох неверных пониманий накопится, а их носитель будет находиться в терминальной стадии. В общем, я за то, чтобы лечить :) вовремя.

Urnwestek,

(Оффтоп)

вот за что Вы так не любите тараканов?

[SpBTimes]

Urnwestek в сообщении #777385 писал(а):

У него функция может быть непрерывной в точке $x_0$ если только $x_0$ предельная для области определния $f$

Зорич такого не пишет :)