Задача по физике.

[Pineapple]

Я правильно решил эту задачу, может есть другой способ?

Цитата:

Лодка проходит одно и то же расстояние по течению реки за 90 минут, против течения - за 150 минут. Если скорость лодки относительно воды во всех случаях одинакова, то это расстояние в стоячей воде лодка пройдет за время

$t=\frac { S }{ v } \\ \\ { t }_{ 1 }=90\\ \\ { t }_{ 2 }=150\\ \\ v_{ 1 }=v+x=\frac { S }{ { t }_{ 1 } } \\ \\ { v }_{ 2 }=v-x=\frac { S }{ { t }_{ 2 } } \\ \\ v=\frac { S }{ { t }_{ 2 } } +x=\frac { S }{ { t }_{ 1 } } -x\\ \\ v=\frac { (\frac { S }{ { t }_{ 2 } } +x)+(\frac { S }{ { t }_{ 1 } } -x) }{ 2 } =\frac { \frac { S }{ { t }_{ 2 } } +\frac { S }{ { t }_{ 1 } } }{ 2 } =\frac { \frac { S({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 }) }{ { t }_{ 1 }\cdot { t }_{ 2 } } }{ 2 } =\frac { S({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 }) }{ 2\cdot { t }_{ 1 }\cdot { t }_{ 2 } } \\ \\ t=\frac { S }{ \frac { S({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 }) }{ 2\cdot { t }_{ 1 }\cdot { t }_{ 2 } } } =\frac { 2\cdot S\cdot { t }_{ 1 }\cdot { t }_{ 2 } }{ S({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 }) } =\frac { 2{ \cdot t }_{ 1 }\cdot { t }_{ 2 } }{ { t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 } } \\ \\ t=\frac { 2\cdot 90\cdot 150 }{ 90+150 } =112,5\\ \\

[gris]

Правильно. Рядом Ваша коллега аналогичную задачу решала про школу. При одинаковом расстоянии время прохождения обратно пропорционально <постоянной> скорости. В Вашем случае скорость лодки в спокойной воде находится посередине между скоростями туда-сюда, поэтому искомое время равно среднегармоническому двух данных времён. Или $\dfrac1t=\dfrac12\cdot\left(\dfrac 1{t_1}+\dfrac 1 {t_2}\right)$

[Pineapple]

Цитата:

В Вашем случае скорость лодки в спокойной воде находится посередине между скоростями туда-сюда, поэтому искомое время равно среднегармоническому двух данных времён. Или $\dfrac1t=\dfrac12\cdot\left(\dfrac 1{t_1}+\dfrac 1 {t_2}\right)$

Это доказывается так как в моем решении, а дальнейшем можно просто запомнить и применять для решения подобных задач?

[gris]

Собственно, Вы это и доказали. Ну считайте, что это просто некоторый обход лишней писанины, основанный на знании пропорций <безобразья> разных величин .

[Pineapple]

И я так понял решением задач, где сказано, что тело половину пути прошло с такой-то скоростью, вторую половину пути с другой скорость - найти среднюю скорость на всем участке путь, будет среднее гармоническое двух скоростей?

[gris]

Да. Кстати, многие путаются при устном решении таких задач. То есть когда и что можно складывать и делить. Так что на экзаменах надёжнее, конечно, вводить дополнительные переменные и делать аккуратно и строго, как Вы и сделали.

[Pineapple]

Объясните еще чем отличаются две эти формулы?

$v=\frac { { v }_{ 1 }+{ v }_{ 2 } }{ 2 } $

$v=\frac { S }{ { t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 } }$

[gris]

Среднее арифметическое и среднее гармоническое двух скоростей.

Есть физическое понятие средней скорости. Она усредняется по времени. Это соответствует второй формуле, при условии, что тело с каждой скоростью прошло по одинаковому расстоянию. Это соответствует и первой формуле, при условии, что тело с каждой скоростью двигалось одинаковое время.

Сравните:
Девочка шла в Лес час со скоростью 4 км/ч и час со скоростью 6 км/ч.
Девочка шла в Лес 5 км со скоростью 4 км/ч и 5 км со скоростью 6 км/ч.

Средняя по времени скорость будет разной в каждом случае.

Есть и средняя скорость по пути (только не путать со средней по перемещению). Тогда всё будет ровно наоборот. Но по умолчанию средняя скорость именно по времени. Это для забивания головы лишним.

[Pineapple]

gris, в моей задаче получается средняя скорость пути?

[gris]

Забудьте про скорость по пути. Это другое.
В задачах по кинематике, да и вообще школьной физике, средняя скорость — по времени. Вы решили правильно. Средняя скорость определяется, как общий путь делить на общее время. В разных случаях могут получаться разные формулы, выведенные из $v=S/t$.

[Pineapple]

gris в сообщении #777332 писал(а):

Забудьте про скорость по пути. Это другое.
В задачах по кинематике, да и вообще школьной физике, средняя скорость — по времени. Вы решили правильно. Средняя скорость определяется, как общий путь делить на общее время. В разных случаях могут получаться разные формулы, выведенные из $v=S/t$.

Я просто хочу понять почему в этой задаче вот так уже будет не правильно
$v=\frac { S }{ { t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 } }$

[gris]

А, ну да, в Вашей задаче действительно получается средняя по пути. Вы же находите не среднюю скорость, а скорость лодки в пруду. Но я бы не стал эти слова употреблять. Я с чего-то решил, что Вы теперь решили находить среднюю скорость движения лодки в реке.

Только тогда общий путь это $2S$. $S$ за $t_1$ туда и $S$ за $t_2$ обратно. То есть правильно будет $v_{\text{ср}}=\dfrac {2S}{t_1+t_2}$. Но это будет средняя скорость, а не скорость лодки.

Короче, я спать пошёл . Ответ у Вас правильный.

У Вас написано $v_1=v+x; v_2=v-x$. Чисто алгебраически складываем уравнения и получаем $v=(v_1+v_2)/2$. Без всяких слов про средние.

[Pineapple]

Вот в чем отличие в первом случае средняя скорость на пути 2S, а во втором скорость без течения реки?
$v=\dfrac {2S}{t_1+t_2}$

$v=(v_1+v_2)/2$

[gris]

Да. При движении лодки по реке туда-сюда её собственная скорость равна среднему арифметическому скоростей, а средняя по времени скорость равна среднему гармоническому. И эти две скорости будут совпадать только если скорость реки равна нулю. А вообще говоря они различны. Ведь при равенстве расстояний лодка против течения плывёт дольше.

В задаче спрашивалось, вообще-то, о времени, а не о скорости. А потом вдруг речь зашла о средней скорости. Вот тут я и запутался, о чём же мы говорим. Вы обозначили две разные скорости одной буквой $v$. Но тем не менее, я сказал всё правильно:

Итак, в нашем случае собственная скорость лодки равна среднему арифметическому скоростей, а время, за которое бы лодка проехала расстояние между пристанями в случае остановки реки, — среднему гармоническому времён туда и обратно.
Средняя же скорость в кинематическом смысле вовсе не равна собственной скорости лодки, а равна среднему гармоническому скоростей туда-обратно.

$v_{\text{средняя}}=\dfrac {2S}{t_1+t_2}$

$v_{\text{лодки}}=(v_1+v_2)/2$

[DimaM]

gris в сообщении #777445 писал(а):

Итак, в нашем случае собственная скорость лодки равна среднему арифметическому скоростей, а время — среднему гармоническому.

Что это за зверь такой - "собственная скорость лодки"?