Первый замечательный предел.

[Urnwestek]

У вас сверхстранное задание. Во-первых задание "исследуйте на сходимость ряд" с условием, где уже написано, к какому числу ряд сходится выглядит странно; во-вторых в нулевом члене происходит деление на ноль; в-третьих, если даже начинать c единицы, то то, что написано после равно явно неправильно; в-четвёртых довольно странное "усложнение" сделал автор, умножив числитель и знаменатель члена ряда на $\sqrt{n}$. А ещё довольно странно ваше

Цитата:

Понятно что данный предел равен нулю

коррелирует с первым постом темы. Вы это задание, случайно, не сами только что придумали?

[chesas]

iifat в сообщении #776983 писал(а):

Если вы хотели сказать, что член ряда стремится к нулю, лучше было так и сказать.

Конечно же, Вы правы. Это лимит стремится, а не сумма.
Сейчас подумаю над Вашим последним предложением, спасибо.

-- 18.10.2013, 22:30 --

Urnwestek в сообщении #776985 писал(а):

к какому числу ряд сходится

Конечно же в условии нет равенства нулю ряда, это я уже неправильно представил решение. К нулю стремится лимит, как я уже писал.
Извините конечно, но задание я не выдумывал. Вначале просто пытался сам решить; казалось довольно простым, а вот не понимал именно то что и спрашивал изначально.

-- 18.10.2013, 22:35 --

Может не совсем правильно записаны формулы, но: в числителе корень под синусом, в отличие от знаменателя.

-- 18.10.2013, 22:41 --

Пока так
$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2{n\sqrt{n}}}{n\sqrt{n}}$

$\lim_{n\to\infty}{\sin^2{n\sqrt{n}}}\,\cdot\frac1{n\sqrt{n}}=0$
как произведение ограниченной функции на бесконечно малую.
Но этого маловато...

[teddybrooks]

А почему маловато? Какие-нибудь признаки сходимости знаете?

[chesas]

Вроде бы, напрашивается признак сравнения, но вот с каким рядом сравнивать не соображу.
А ещё есть : Даламбера, Коши, Лейбница. Больше не знаю.

[chesas]

Похоже, что я решил примерчик. Действительно необходимо применить признак сравнения. И сравнить заданый ряд с рядом Дирихле.
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}$
Видно, что
$\frac{\sin^2(n^{1.5})}{n^{1.5}}\leqslant\frac{1}{n^{1.5}}$
При показателе степени больше единицы, ряд Дирихле сходится, значит и заданый ряд сходится!
Большое спасибо Всем за участие.

[provincialka]

Только не надо писать, что "лимит стремится к 0". Лимит - это предел, и он ни к чему не стремится. Стремится общий член ряда.

(Оффтоп)

Вопрос, где читать теорему о сходимости от человека, которому надо исследовать ряд, мягко говоря, удивил...

[chesas]

Безусловно Вы правы. Спасибо.

[bot]

(Оффтоп)

chesas в сообщении #776987 писал(а):

Это лимит стремится

Не-а, лимит никуда не стремится - он уже пришёл и отдыхает.
Уже было - не заметил.