Невозможные геометрические построения

[врач-реаниматолог]

Я имел ввиду смещение точки О1 в точку О по биссектрисе, с фиксированными точками Б и Б1, а так же дугой ББ1. Я не знаю, есть ли подобное в геометрии, но при таком смещении происходит "растяжение" сторон угла и при этом дуга остаётся разделенной на три части, а значит и соотношение углов не изменится.
Тригонометрия хитрая штука. Исторически тригонометрические функции всё-таки придумали, а в реальности они не реализуются.Может пришло время создать математику, которая обходилась бы без них?

[cepesh]

врач-реаниматолог писал(а):

Я имел ввиду смещение точки О1 в точку О по биссектрисе, с фиксированными точками Б и Б1, а так же дугой ББ1. Я не знаю, есть ли подобное в геометрии, но при таком смещении происходит "растяжение" сторон угла и при этом дуга остаётся разделенной на три части, а значит и соотношение углов не изменится.
Тригонометрия хитрая штука. Исторически тригонометрические функции всё-таки придумали, а в реальности они не реализуются.Может пришло время создать математику, которая обходилась бы без них?

Как-то Вы смешно излагаете. Хотите сказать, что тригонометрические функции не применяются на практике?

[врач-реаниматолог]

Если прямой угол, разделенный на три части, мысленно расположить вертикально основанием вниз, опираясь на дугу ББ1, а затем эту плоскость поворачивать от себя по оси ББ1, используя её как ось вращения, то по законам проективной геометрии, несмотря на удлинение сторон угла и пропорциональное уменьшение угла, а так же уменьшение кривизны дуги (она пространственно будет приближаться к точке зрения), угол останется разделенным на три равных части. Сложите мысленно полученные плоскости с фиксированными рисунками, получите предложенное мною построение. А значит трисекция всё-таки проведена. Жаль не хватает времени изложить это в виде чертежей, может позже.
Мы применяем тригонометрические функции для определения координат точки в 3Д пространстве, но сама точка обходится без них.Она знает где находится, а значит должно существовать что-то другое.

[Someone]

врач-реаниматолог писал(а):

Прошу прощения, господа, облажался. Я слабовато разбираюсь в компьютерах и интернете.Попробую ещё разок:
Здесь трисекция
http://img126.**invalid link**/my.php?image=scan14qn.jpg
...
Похоже, что Гаусс ошибался в своей теореме..

Вы не доказали, что точки D и D1 (вершины ромбов) лежат на прямых д и е (трисектрисах). Это, как минимум, пробел, требующий устранения. Ссылка на чертёж доказательством не является.

Возможно, Ваш способ имеет хорошую точность, но этот вопрос требует исследования. Боюсь, что для малых углов погрешность может быть существенно большей, чем для углов, близких к прямому.

[врач-реаниматолог]

Я всё-таки не математик, и мне тяжело подойти к доказательству, тем более, если учесть, что геометрические построения не принимают за доказательство.Мои жалкие попытки найти алгебраическое доказательство упираются в то , что сначала необходимо признать трисекцию. И ещё почему никто не хочет высказать своё мнение по поводу предложенного варианта с "падением" плоскостей. Ведь при таких условиях, когда плоскости смещаются в направлении строго от точки зрения действительно не нарушаются соотношения между углами.Отобразить это в чертежах займет много времени, я им не располагаю и не имею компьютера, чтобы отобразить это всё в графике.Может кто-нибудь попытается сделать это на компьютере?

[Someone]

врач-реаниматолог писал(а):

Я всё-таки не математик, и мне тяжело подойти к доказательству, тем более, если учесть, что геометрические построения не принимают за доказательство.

Вообще говоря, если не ошибаюсь (пусть меня поправят те, кто знает историю лучше), был такой период в геометрии, когда считалось, что для доказательства теоремы достаточно сделать хорошо понятный чертёж и сказать: "Смотри!". Впоследствии выяснилось, что такой подход приводит к ошибкам. В занимательной литературе по математике можно найти примеры, когда умышленно искажённый чертёж используется для "доказательства" заведомо неверного утверждения, причём, искажение может быть незаметным "на глаз" (это так называемые софизмы: умышленно делается ошибка, которую читатель должен найти).

врач-реаниматолог писал(а):

Мои жалкие попытки найти алгебраическое доказательство упираются в то , что сначала необходимо признать трисекцию.

Если мы будем основывать доказательство на предварительном "признании" того утверждения, которое хотим доказать, то сможем "доказать" всё, что захотим, в том числе любые заведомо неверные утверждения. Поэтому такой способ "доказательства" неприемлем.

врач-реаниматолог писал(а):

И ещё почему никто не хочет высказать своё мнение по поводу предложенного варианта с "падением" плоскостей. Ведь при таких условиях, когда плоскости смещаются в направлении строго от точки зрения действительно не нарушаются соотношения между углами.Отобразить это в чертежах займет много времени, я им не располагаю и не имею компьютера, чтобы отобразить это всё в графике.Может кто-нибудь попытается сделать это на компьютере?

Вообще говоря, трудно понять, что Вы имеете в виду. Если проектирование прямого угла на плоскость, то есть, проективное преобразование, то Вы не правы: проективные преобразования не сохраняют ни отношений углов, ни отношений отрезков. Сохраняется так называемое двойное отношение четырёх точек A, B, C и D, лежащих на одной прямой: (AC/CB):(AD/DB); а также двойное отношение четырёх прямых a, b, c и d, проходящих через одну точку и лежащих в одной плоскости: (sin(ac)/sin(cb)):(sin(ad)/sin(db)) (имеются в виду углы между прямыми). Здесь длины отрезков и углы берутся со знаками. В случае точек на содержащей их прямой выбирается любое из двух направлений, и длина отрезка берётся со знаком "+", если его направление совпадает с выбранным, и со знаком "-" - если не совпадает. Аналогично для углов, только здесь выбирается направление вращения на плоскости, содержащей прямые. Само двойное отношение от выбранного направления не зависит.

Далее я имею в виду Ваш чертёж для трисекции острого угла. Обозначим D' и D1' точки пересечения прямой ББ1 с прямыми д и е; пусть а', б', д' и е' - прямые O1Б, O1Б1, O1D' и O1D1'. В Вашем случае будет выполняться равенство (sin(ад)/sin(дб)):(sin(ае)/sin(еб))=(sin(а'д')/sin(д'б')):(sin(а'е')/sin(е'б')). Этого слишком мало для доказательства равенства углов, тем более, что углы а'д' и д'е' не равны по построению.

врач-реаниматолог писал(а):

Тригонометрия хитрая штука. Исторически тригонометрические функции всё-таки придумали, а в реальности они не реализуются.

Не понимаю, чем Вам не нравятся тригонометрические функции. Исторически они возникли именно из геометрии. Это просто отношения сторон прямоугольного треугольника (по крайней мере, для острых углов).

Рассмотрим Ваше построение для случая, когда угол аб очень мал. Тогда отношение углов ад и де мало отличается от отношения отрезков БD' и D'D1', а эти отрезки, в свою очередь, мало отличаются от (ортогональных) проекций равных отрезков БВ и ВВ1 на прямую ББ1; эти проекции равны длине БВ=ВВ1, умноженной, соответсвенно, на 0,866 и на 1. Поэтому для очень малого угла аб отношение углов ад/де очень близко к 0,866 (это таинственное число есть косинус 30 градусов). Точные расчёты нетрудно сделать для любого угла с помощью нелюбимых Вами тригонометрических функций.

[iron]

Если я правильно понял, то автор предполагает, что при движении точки О1 по прямой г углы БО1В, ВО1В1, В1О1Б1 переходят в углы БОВ, ВОВ1, В1ОБ1, меняют свою велечину, но сохраняют равенство друг другу. Если да, то это неверно. Достаточно двигать О1 не влево, а вправо (разницы нет: трисекция должна сохраняться в оба направления), и тогда на лицо неравенство углов, например, при В01В1 = Pi.

Если этот способ не устраивает, пожалуйте сюда:
двигаем влево до перехода О1 в О.
Пусть ВОг = a, БОг = b:

из треугольника ВОО1 (здесь и далее все буквы из чертежа)
ВО1/sin(a) = ОО1/sin(ОВО1) (*),
ОВО1 = ВО1г - a = Pi/12 - a,

из треугольника БОО1
БО1/sin(b) = ОО1/sin(ОБО1) (**),
ОБО1 = БО1г - b = Pi/4 - b.

Делением (*) на (**) (БО1 = ВО1) получим
sin(b)/sin(a) = sin(Pi/4 - b)/sin(Pi/12 - a).
Предполагаем b = 3a, тогда
sin(3a)sin(Pi/12 - a) = sin(a)sin(Pi/4 - 3a)
1/2(cos(4a-Pi/12) - cos(2a+Pi/12)) = 1/2(cos(4a-Pi/4) - cos(Pi/4-2a))
cos(4a - Pi/12) - cos(4a - Pi/4) = cos(2a + Pi/12) - cos(Pi/4 - 2a)
-2sin(4a - Pi/6)sin(Pi/12) = -2sin(Pi/6)sin(2a - Pi/12)
2sin(2a-Pi/12)cos(2a-Pi/12)sin(Pi/12) = 2sin(Pi/12)cos(Pi/12)sin(2a-Pi/12)
cos(2a - Pi/12) = cos(Pi/12),
причем для любого угла a, ведь любой БОБ1 может быть разбит на 3. Всё просто.
Такое возможно для a = Pi/12, БОБ1 = 6a = Pi/2, (что мы и видим) но никак не для всех углов.
Противоречие.Значит, при движении О1 влево соотношение не сохраняется, но, думаю, это уже сами все поняли.

[denpol]

Да это все загоны. Я небольшой математик, но, исходя из того, что есть способ как разделить прямой угол на три части, а также исходя их того, что любой угол (острый) является результатом вращения прямого угла в 3д, то какие-то пропорции (скажем, между длинами отрезков хорды, отсеченных лучами углов в 30 градусов) должны сохраняться. Хорда, понятно, проведена по дуге, отсеченной прямым углом, при этом она образует равносторонний прямоугольный треугольник. А раз так, то и как-нибудь эти пропорции можно построить для любого угла, острого так точно, ну и тупого - соответственно тоже. Или я не прав?

[denpol]

Вот. Нахоботитесь выделить из любого отрезка длиной А отрезок длиной (А/2)х(tg15*/tg45*) (* - это градусы, не знаю, как они тут печатаются), и вы сможете делить любой угол на три части, я так думаю... А может это был и не тангенс, а котангенс... Короче, я сам доктор, математику учил в последний раз ровно 20 лет назад, счас с дочурой прохожу 10 класс заново... Хотя скорей всего это загон тоже. Не может быть все так просто. Но и отношение этих тангенсов - довольно уникально по своим свойствам. Может, какое очередное "платиновое сечение", которое как раз делит углы на три части, а что попало....

[Влад]

Вот планиметрическое доказательство ошибочности выполненных построений. Советую взять в руки бумагу и ручку. Построим окружность с центром в О, радиуса ОБ. Она пересечёт прямые ОВ и ОВ1 в точках С и С1, соответственно. Также проведём отрезки БС, СС1, С1Б1, БВ, ВВ1, В1Б1 и главное ВС1. Треугольники ОБВ и ОС1В равны по первому признаку, значит равны БВ и С1В. Используя равенство углов БОВ и ВОВ1, видим, что БВ=ВВ1. Но тогда ВВ1=ВС1, т. е. треугольник ВС1В1 равнобедренный, и углы при основании равны. Далее треугольники ОСС1 и ОВВ1 подобны, и углы ОС1С и ОВ1В равны. Также из равенства треугольников ОСС1 и ОБ1С1 получаем равенство углов ОС1С и ОС1Б1. Т.о., у нас получилось 4 равных угла: ОС1С=ОВ1В=ОС1Б1=ВС1В1. Равенство двух последних доказывают то, что ВС1 и С1Б1 лежат на одной прямой (т.к. ОС1В1 - прямая). Теперь видно, что угол ВБ1В1 равен половине ВО1В1, т.е. равен 15 град. и равен углы Б1ВВ1. Наконец, из подобия треугольников ОВВ1 и ВВ1С1 заключаем, что угол ВОВ1 также равен 15 град., что противоречит условию произвольности угла БОБ1. Визуальный обман заключался в малых масштабах построений и несовершенстве приборов измерения, так что основы математики пока оставим на прежнем месте.

[врач-реаниматолог]

Жаль, что очень давно не имел возможности заглянуть. Жизнь, млин. Ну не в этом суть.
Владу.
Интересная штука получается. Доказав равенство треугольников ОБВ и ОС1В, анналогичным образрм можно доказать и равенство треугольников ОСВ1 и ОБ1В1. Получается, что угол БОВ иравен углу ВОС1. Так же угол СОВ1 равен углу Б1ОВ1. Угол СОВ1 является общим для треугольников ОС1В и ОСВ1, а следовательно угол БОВ равен углу ВОС1 и равен углу Б1ОВ1. Три угла равны между собой, что и требовалось доказать.
Только чесно говоря, не до конца понимаю, как Вы доказываете равенство треугольников. Мне кажется проще это сделать, если после проведения дуги ОБ и получения точек пересечения С и С1 провести перпендикулярные касательные в точках Б, С, С1 и Б1. И далее исходя из равенства катетов как радиусов и общих гипотенуз доказать равенство соответствующих треугольников и следовательно углов. Трисекция выполнена, господа.
Почему всё-таки не играет роли, какую дугу изначально разделили?
Тут наверное играет роль то, что удлиняя радиус (по отношению к прямому углу) уменьшаем кривизну дуги. Но вместе с этим уменьшаем и угол пересечения новых прямых с биссектриссой в точке О, а значит и новую дугу ( не прямого угла) пересекаем в новых точках. Но тем не менее дуга остаётся разделённой на три части. Это похоже справедиво и в обратном направлении ( в сторону увеличения угла). Все изменения оказываются пропорциональны друг другу. То есть чем дальше точка О от О1, тем меньше кривизна дуги, тем меньше угол пересечения с прямой г и меньше оказывается часть дуги пересекаемой новой прямой. Но в целом, части новых дуг всё-равно оказываются равными. Приблизительно так.
И ещё. Диагональ стороны куба с удвоенным объёмом будет равна диагонали исходного куба. Её можно найти циркулем и линейкой без делений.

[er]

PAV писал(а):

врач-реаниматолог писал(а):

...
Вообще- то из некоторых геометрических развлекалок я наткнулся на несоответствие геометрии и.. возведения в квадрат.Есть геометрические отбражения степенной функции вообще? Или это только алгебраическое понятие?

...

Про степенную функцию. По-моему я такого не знаю. Из соображений размерности мне кажется это маловероятным. Мы можем построить прямоугольник с заданными сторонами, его площадь будет давать произведение. Но получить отрезок, длина которого равна произведению заданных длин, думаю, нельзя. А также с большими степенями.

Можно "получить отрезок, длина которого равна произведению заданных длин". Складывать, вычитать, делить - тоже. Можно так же извлекать квадратные корни. Кубические корни - уже нельзя.

С помошью циркуля и линейки можно построить (и только их) отрезки длина которых - квадратичная иррациональность (наименьшее подмножество чисел, замкнутое относительно сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня).

Соответственно, доказательство невозможности
1. квадратуры круга
2. трисекции угла в $30^{\circ}$
3. удвоения куба
сводится к тому, что бы доказать, что числа
1. $\pi$
2. $cos(10^{\circ})$
3. $2^{\frac13}$ - кубический корень из 2
не являются квадратичными иррациональностями

Случаи 2 и 3 относительно просты.. Для 1 доказывается трансцендентность числа $\pi$, достаточно сложно. Интересно, может есть более менее простое доказательство того, что $\pi$ не квадратичная иррациональность?

[volchenok]

Число Пи не может быть квадратической иррациональностью хотя бы потому что, если представлять его в виде цепной дроби, то там не будет периода.