Уравнение в целых

[DjD USB]

Решить уравнение в целых неотрицательных числах:

$$5^x7^y+4=3^z$$

[hippie]

Ответ: $x=1,\ y=0,\ z=2.$

Рассмотрим 2 случая:

I) $z$ чётное.
$5^x7^y=3^z-4=(3^{\frac z2}-2)(3^{\frac z2}+2),$ откуда $5^x=7^y\pm 4.$
По модулю 4 получаем $y$ чётное. Тогда $5^x\equiv 49^{\frac y2}\pm 4\equiv \pm 1\pm 4 (\mod 25),$ откуда $x=1.$

II) $z$ нечётное.
Тогда по модулю 8 получаем $y$ нечётное, $x$ чётное. А по модулю 3 получаем $x$ нечётное.

[DjD USB]

hippie
Все так, только факт того что z-- четно можно доказать просто рассмотрением модуля 5)