Почему уравнения движения именно 2-го порядка?

[Архипов]

ddn писал(а):

Вот и та лишняя константа, которую я никак не могу найти...
Уравнение-то третьего порядка, а констант в граничных условиях четыре: две координаты и две скорости...
Ну, и чтобы это значило... надо подумать...

А как уравнение 3 порядка выглядит?
1. первого:
dt=dv/a(t)
dt=dx/v(x)
2. второго:
v*dv(x)=a(x)*dx здесь в итегралах две константы: Vo, Xo.
3. третьего:
?

[PSP]

ddn писал(а):

PSP писал(а):
А если лагранжиан задан параметрическим образом?Типа ,где -параметр?
А что это даст? Как вы будете записывать действие, которое есть интеграл от времени? Каким будет уравнение Лагранжа?

Не что даст, а вынужденная ситуация, когда лагранжиан не получается выразить явным образом . как функцию от скорости.

Добавлено спустя 1 минуту 15 секунд:

PSP писал(а):

Каким будет уравнение Лагранжа?

Вот это я и хотел бы понять...

[Архипов]

О механике Лагранжа. Это - математическая теория. По-современному я бы так описал её начала:

Берем физическую величину - длину Х.
Первая производная Х по времени - v=dx/dt
Вторая производная Х по времени - a=dv/dt
Из двух тождеств получаем следствия,
dt=dx/v
dt=dv/a
v*dv=a*dx - аналог уравнения Лагранжа
Умножаем последнее уравнение на постоянную величину M:
M*v*dv=M*a*dx
Интегрируем его и получаем закон сохранения механическаой энергии:
M*V^2/2= M*a*X
Левую часть назовем кинетической, правую -потенциальной энергией.

Возьмем теперь другую физическую величину -заряд q
Первая производная q по времени I=dq/dt
Вторая производная q по времени i=dI/dt
Следствие этих тождеств - I*dI=i*dq
Умножаем обе части на постоянную L и интегрируем:
L*I^2/2=L*i*Q
Получили закон сохранения электрической энергии.

И так далее.... Например для вращательного движения берем угол f , его производные по времени w и e, получим закон сохранения энергии вращательного движения.

В методе Лагранжа сначала выписывают формулу энергий, затем дифференциируют её и получают диф.уравнение движения. А ведь можно и наоборот - из дифференциального уравнения получать интегралы движения.

Уравнение v*dv=a*dx брать как шаблон для вставки в него извесной зависимости a(x) или v(x) или a(v). Эти зависимости извесны из многих законов: тяготения, упругости, аэро и гидросопротивления, трения и т.д.

Пример:
1. вставим в уравнение зависимость a(x)=g*R/n^2 (извесна из закона тяготения (n=(h+R)/R). Получим v*dv=g*dx/n^2.
2. Интегрируем в определенных интегралах его и получим,
v(n)=(2*R*g*(1/n1-1/n2)^0,5
3. Интегрируем время по шаблону dt=dx/v(n) и получим время падения тела с любой высоты:
t=n2^(3/2)*(R/2g)^0,5*(1-sin2a/2)
в пределах интегрирования от Pi/2 до arcsin(n1/n2)

[zbl]

PSP писал(а):

Каким будет уравнение Лагранжа?
Вот это я и хотел бы понять...

Теми же.
Просто, будет $L(x,\dot x)$ задана неявно, и вычислять $\frac{\partial L}{\partial x}$ да $\frac{\partial L}{\partial \dot x}$ придётся как производные параметрически заданной функции.

[MAKSS]

В 6- ом томе Фейнмановских лекциий по физике глава №28 параграф 4 «С какой силой электрон действует сам на себя?» говорится и о третьей производной и о четвёртой и т.д… В СТО то же самое. Что копья то ломать?

[PSP]

MAKSS писал(а):

В 6- ом томе Фейнмановских лекциий по физике глава №28 параграф 4 «С какой силой электрон действует сам на себя?» говорится и о третьей производной и о четвёртой и т.д… В СТО то же самое. Что копья то ломать?

Копья ломать стоит - здесь зарыта одна из тайн мадам Природы...

[zbl]

MAKSS писал(а):

Что копья то ломать?

Здесь нет никакого спора -- только вопрос, что будет, если в мехсостояние добавить ускорение или почему уравнения движения (в механике) именно второго порядка?
В учебниках по теормеханике этот вопрос вообще не обсуждается, отсюда ещё сопудствующий вопрос: почему этот вопрос не обсуждается в учебниках по теормеханике?

[MAKSS]

PSP. Zbl. Может, я не совсем владею проблемой, но мне думается, что всё упирается в наши представления о массе. Мне представляется, что масса это ПРОЦЕСС со своим механизмом осуществления. Я примерно описал такой механизм в: «Новый род движения» здесь на форуме и ряде других статей. Никакой оценки я пока не получил, хотя некоторые сайты продолжают тиражировать эти статьи. Так вот если мы узнаем природу массы то тогда не нужно записывать силу через ускорение на массу, появится новая запись, в том числе и кинетической энергии, да и вся физика перепишется. Попутно замечу, что постоянство скорости света в различных инерциальных системах отсчёта имеют (на мой взгляд) сходную природу в механизме действия.

[PSP]

Кстати,можно ли физику Аристотеля считать физикой с уравнениями движения (в механике) первого порядка?

[zbl]

zbl писал(а):

Например добавим ка ускорение в мех состояние.
Тогда функция Лагранжа будет иметь вид: $L(x,\dot x,\ddot x)$ вместо $L(x,\dot x)$.
Соответственно, уравнения Эйлера с ней:

$$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} = 0 $$

Вот это-то, как выяснилось с подачи ddn, и не совсем правда.
На самом деле вариация действия имеет вид:

$$ \delta S = \left \frac{\partial L}{\partial \dot x} \delta x \right|_{t_1}^{t_2} + \left \left( \frac{\partial L}{\partial \ddot x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} \right) \delta\dot x \right|_{t_1}^{t_2} + \int\limits_{t_1}^{t_2}\left( \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} \right)\delta x dt $$

Действие просто не будет иметь минимума, если не равны нулю первые два слагаемых: производные по времени вариаций не зависят от самих вариаций.
Чтобы действие имело минимум, нужно, чтобы либо вариации скоростей обращались в нуль вместе с вариациями координат, либо скобка во втором слагаемом была равна нулю.
Если занулять вариации скорости на концах траектории, то граничных условий будет уже четыре, а не три -- уравнения движения тогда должны быть 4-го порядка, а не 3-го.

Нам важно иметь уравнения 3-го порядка, чтобы иметь детерминизм: нужно, чтобы, зная мехсостояние (которое теперь состоит из координаты, скорости и ускорения) в один момент времени, мы смогли узнать его в любой последующий момент.
Чтобы иметь уравнения 3-го порядка, выходит, нужно занулить скобку во втором слагаемом...
Но, ведь, это ещё одно уравнение для траектории (причём, 3-го порядка).
У нас на самом деле система двух уравнений в качестве уравнений движения:

$$ \frac{\partial L}{\partial \ddot x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} = 0 $$

$$ \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} = 0 $$

А совместны ли они?
И как обстоит дело с начальными условиями?

Добавлено спустя 8 минут 3 секунды:

PSP писал(а):

можно ли физику Аристотеля считать физикой с уравнениями движения (в механике) первого порядка?

Можно, причём, так и делают, насколько я знаю...
Механикой Аристотеля описывается движение в сильно диссипативной среде (например -- в патоке).
Если трение велико, то ускорением можно пренебречь по сравнению со скоростью, и уравнения движения будут первого порядка.
Ну, а уравнения нулевого порядка -- это уже статика...

[PSP]

zbl писал(а):

zbl писал(а):

У нас на самом деле система двух уравнений в качестве уравнений движения:

$$ \frac{\partial L}{\partial \ddot x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} = 0 $$

$$ \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} = 0 $$

А совместны ли они?
И как обстоит дело с начальными условиями?

...

Мне кажется, они совместимы, а вот с начальными условиями...

[zbl]

PSP писал(а):

Мне кажется, они совместимы,

У нас ведь $L(x,\dot x, \ddot x)$ имеет специальный вид: она линейна по $\ddot x$ (иначе, уравнение будет четвёртого порядка)...

PSP писал(а):

а вот с начальными условиями...

Второе уравнение эквивалентно уравнению второго порядка (как я писал в самом начале ветки).
Но первое не зависит от второго и имеет 3-й порядок, так что лишнюю константу, можно сказать мы нашли: она служит третьим начальным условием первого уравнения.
Но тут сразу всплывает вопрос, совместимы ли эти уравнения -- имеют ли они общие решения?
Если да, то у нас есть всё, что нужно: и детерминизм, и уравнения движения, и граничные условия -- можно начать соображать вид $L(x,\dot x, \ddot x)$ для свободной частицы.
Но, если нет, то сразу всё дико меняется, так как мы вынуждены тогда отказаться от детерминизма...

Добавлено спустя 9 минут 35 секунд:

MAKSS писал(а):

PSP. Zbl. Может, я не совсем владею проблемой, но мне думается, что всё упирается в наши представления о массе.

Допустим, нам удалось понять природу инерции и физический смысл массы.
Тогда масса в механике перестанет быть внешним параметром, но тогда она войдёт в начальные условия для уравнений движения.
Из размерности ясно, что в такой новой теории обязательно появится мировая константа (эх, если бы это была скорость света...).
Вот отсюда, собственно, и вопрос, что должно войти в мехсостояние такой теории...
Но в механике кроме координаты и её производных по времени у нас просто ничего и нет.

[PSP]

zbl писал(а):

Но тут сразу всплывает вопрос, совместимы ли эти уравнения -- имеют ли они общие решения?

Может, просчитать эту систему в Мапле, сразу ясно станет?
Жаль , у меня сейчас под рукой Мапла нет..

[MAKSS]

Zbl. Мне думается, Вы совершенно правы, когда предполагаете, что в определение массы должна войти скорость света. Для меня такое представление с самого начала кажется где – то оправданным. Вот простое соображение- постоянство скорости света и постоянство любого эталона массы… И ещё если может существовать - новый род движения (самодвижение) с выполнением 3- его закона, закона импульса, закона кинетической энергии, то возможен некий прообраз массы (её механизма). Во вращательном движении- самоповорот замкнутой системы за счёт внутренних манипуляций в ней с сохранением момента импульса( в некотором смысле прообраз момента инерции) реален(см.здесь Парадоксы механики). Ведь существует аналогия в виде таблиц для вращения и поступательного движения. Вопрос, почему самовращение возможно, а поступательного самодвижения нет? По моему тоже возможно!
И по теме, если мы определим через процессы в массе новое представление о движении, то тогда, то и станет понятно, почему как сейчас уравнения движения в данном случае именно 2-го порядка.

[Архипов]

Только у zbl вразумительный текст. Я тоже интересовался этой темой.
Что дошло?

Порядок уравнения алгебраического нумеруют по максимальному знаку степени у переменной, то есть X^3 + X^2 = 0 называют ур-нием 3 степени.

Порядок дифференциальных уравнений нумеруют по максимальному знаку производной в них, то есть X'''+X''=0 называют ур-нием 3 порядка.

В механике Лагранжа всего три уравнения:
dv(t) = a(t)*dt и dx(t)=dv(t)*dt - первого рода
v(x)*dv(x)=a(x)*dx - второго рода
Потому род, что первое - дифференциалы по времени, а второе - дифференциал по координате.