Найти логарифм от матрицы (решил, но получается фигня)

[hurrdurrrderp]

Нужно найти натуральный логарифм от матрицы A = $ \left[\begin{array}{rr}x & 1 \\ 1 & x \\\end{array}\right]$ Из курса функана — есть формула, похожая на интегральную формулу Коши:

$$ f(A) = {1 \over {2 \pi i }}\oint_C f(z)(zI - A)^{-1} dz,$$

где контур охватывает собственные значения матрицы. Определитель $\left[\begin{array}{rr}x - z & 1 \\ 1 & x - z \\\end{array}\right] = (x - z)^2 - 1 = 0 $ => Собственные значения $ z = x \pm 1$

$$(zI - A)^{-1} = \left[\begin{array}{rr}z - x & -1 \\ -1 & z - x \\\end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{rr}z - x & 1 \\ 1 & z - x \\\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{rr}z - x & 1 \\ 1 & z - x \\\end{array}\right]$$

Как мне объяснили, интеграл берётся поэлементно, т.е. нужно найти $ \oint_C \ln(z) dz $ и $ \oint_C (z-x) \ln(z) dz $. Их проще всего посчитать через вычеты. Если у нас $x \ne \pm 1 $, то контур не охватывает 0 => никаких особых точек внутри него нет и интеграл равен 0.
Потом я нашёл порядок полюса в точке 0 для $ f_1 = \ln(z) $ и $ f_{2,3} = (z \pm 1) \ln(z) $. Он равен порядку нуля $ F_1 = {1 \over \ln(z)} $ и $ F_{2,3} = { 1 \over (z \pm 1) \ln(z) } $. Посчитал производные в вольфраме, там же посчитал пределы - вышло, что уже у первых производных в $z = 0$ значение не 0, а вообще особая точка. Т.е. выходит порядок полюса первый. Потом по этой

$$ {1 \over (n+1)!} \lim {d^{n-1} \over dz^n }[(z-a)^n f(z)]$$

формуле для вычетов в полюсах кратности n нашёл их, и они все получились равны 0.
Т.е. у меня получилась нулевая матрица. Мне кажется, я сделал что-то неправильно, пожалуйста, подскажите где.

[Xaositect]

Обратная матрица неправильно найдена (забыли поделить на определитель).

[hurrdurrrderp]

Xaositect

Спасибо, воспользовался формулой по памяти и ошибся. Сейчас пересчитаю, посмотрю, что выйдет.

[hurrdurrrderp]

Проверьте решение, пожалуйста, у меня только одна попытка, чтобы сдать, я на грани вылета.
Итак, матрица получилась

$$(zI - A)^{-1} = {1 \over (z - x)^2 - 1 } \left[\begin{array}{rr}z - x & 1 \\ 1 & z - x \\\end{array}\right]$$

Осталось найти $ \oint_C {\ln(z) \over { (z - x)^2 - 1 } } dz $ и $ \oint_C { (z-x) \ln(z) \over (z - x)^2 - 1 }dz $. Будем считать вычеты в точке $ x \pm 1$. Обозначим $f_1(z) = {\ln(z) \over { (z - x)^2 - 1 } } = g_1(z)/h_1(z)$ Тогда

$$\operatorname{Res} [f_1(z), x-1] = {g_1(x-1) \over h_1'(x-1)} = - {\ln(x - 1) \over { 2 } } $$

$$\operatorname{Res} [f_1(z), x+1] = {g_1(x+1) \over h_1'(x+1)} = {\ln(x + 1) \over { 2 } } $$

Обозначим $f_2(z) = { (z - x) \ln(z) \over { (z - x)^2 - 1 } } = g_2(z)/h_2(z)$ Тогда

$$\operatorname{Res} [f_2(z), x-1] = {g_2(x-1) \over h_2'(x-1)} = {\ln(x - 1) \over { 2 } } $$

$$\operatorname{Res} [f_2(z), x+1] = {g_2(x+1) \over h_2'(x+1)} = {\ln(x + 1) \over { 2 } } $$

Т.к. интеграл по контуру — это сумма вычетов во внутренних точках на $2 \pi i$, то в ответе получим

$$ \ln A = {1 \over 2} \left[\begin{array}{rrrrr} \ln (x^2 - 1) & \ln { {x + 1} \over {x - 1}} \\ \ln { {x + 1} \over {x - 1} } & \ln (x^2 - 1) \\\end{array}\right] $$

[Xaositect]

Ответ правильный, вычисления не проверял.

[hurrdurrrderp]

Спасибо большое.

[hurrdurrrderp]

Преподаватель посмотрел на ответ и сказал, что я где-то потерял минус. И по его мнению матрица будет действительной для $|x| < 1$ Т.е. выходит, он считает, что вместо $ \ln {(x^2 - 1)}$ должно быть $ \ln {(1 - x^2)}$. Но ведь если $X = \ln A$ и $a_i$ — собственные числа $A$, а $x_i$ — собственные числа $X$, тогда должно выполняться $e^{x_i} = a_i $. Я нашёл собственные числа этой матрицы, они получились $ \ln {(x-1)}$ и $ \ln {(x+1)}$ Либо я ошибся дважды, либо преподаватель не прав.

[Xaositect]

Я находил так: привел матрицу к диагональной, взял логарифмы от собственных значений на диагонали и перешел обратно. У меня получился такой же ответ, как у Вас.