пределы, монотонные последовательности

[Ubermensch]

Доказать, что последовательности являются монотонными и имеют предел.

1) $x_n=\frac{n!}{(2n+1)!!}$, где $!!$ - произведение нечетных чисел.
Замечаем, что $x_n>x_{n+1}$
$\frac{x_n}{x_{n+1}}>1$
$\frac{x_n}{x_{n+1}}=\frac{2n+3}{n+1}$ Это больше единицы. Это и есть доказательство монотонности? Последовательность убывающая.
А предел как найти?

2 )$\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n^2+1}{n^2-2})^{n^2}$
Здесь $x_n<x_{n+1}$. Это даёт право полагать, что последовательность монотонно возрастающая?
На практике предел в похожих примерах как-то выводили через число Эйлера. Но я совсем не понял, как. К члену последовательности прибавляли и отнимали единицу, потом возводили в какую-то новую степень и получали число Эйлера в какой-то степени.

3) $\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{2^n+3}{2^n+1})^n$
Похоже на второй пример?
4)$x_1=13, x_{n+1}=(12+x_n)^{1/2}$

[provincialka]

2) и 3) - неопределенности вида $1^\infty$, так что их, действительно, можно свести ко второму замечательному пределу. Посмотрите еще раз в тетрадке, подумайте. Что мы можем здесь сделать? Только повторить те же преобразования.

в 1) отношение $\frac{x_n}{x_{n+1}}$ не просто больше 1 (этого маловато). Оно больше - чего? Сравните последовательность с геометрической прогрессией.

[Ubermensch]

У меня в третради малая часть всех выкладок. Как раз в той части пары, когда это объясняли, я уснул. Поэтому мне и непонятно, как свели к число Эйлера.

В первом задании можно расписать, как $x_n=x_{n+1}\frac{2n+3}{n+1}$ Пусть предел последовательности $=a$, тогда будет:
$a=\frac{2n+3}{n+1}a$
$a=2a$
$a=0$
Верно?

[Neos]

2) явно число $e$ в некоторой степени
разделите числитель на знаменатель по схеме Горнера, или "столбиком".

[Ubermensch]

Neos в сообщении #776482 писал(а):

2) явно число $e$ в некоторой степени

я тоже так думаю. но не знаю, как к этому свести.

[Otta]

Определение у числа $e$ какое?

[Ubermensch]

Otta в сообщении #776487 писал(а):

Определение у числа $e$ какое?

$e$ предел $(1+1/n)^n$ На лекции просто второй замечательный предел преобразовывали в разные стороны. В Зориче такая же штука.

[Otta]

Вот и пользуйтесь. Или тем, или тем. Или определением $e$, или вторым замечат. пределом.
Единица нужна? там, внутре? вот и пишите сперва единицу. Чтоб была. А потом - что осталось.

[provincialka]

Ubermensch в сообщении #776480 писал(а):

В первом задании можно расписать, как $x_n=x_{n+1}\frac{2n+3}{n+1}$ Пусть предел последовательности $=a$, тогда будет:
$a=\frac{2n+3}{n+1}a$
$a=2a$
$a=0$
Верно?

В принципе, верно, если вы сошлетесь на подходящую теорему. Откуда вы знаете, что предел существует?

-- 17.10.2013, 17:02 --

Ubermensch в сообщении #776493 писал(а):

Otta в сообщении #776487 писал(а):

Определение у числа $e$ какое?

$e$ предел $(1+1/n)^n$ На лекции просто второй замечательный предел преобразовывали в разные стороны. В Зориче такая же штука.

В какие такие "стороны"? Наверное, вы имеете в виду, что $\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$. Вот и подумайте, что у вас будет играть роль $x$.

[Neos]

$ \lim\limits_{n\to\infty} (\frac{n^2 + 1}{n^2 -2})^{n^2} = \lim\limits_{n\to\infty} (1 + \frac{3}{n^2 -2})^{n^2} $

Измените показатель, чтобы в нем появилось $\frac{n^2 -2}{3}$

[Ubermensch]

2) $e^3$ Так верно? Еще доказательство монотонности.
3)$e^0$

[Neos]

2) $e^3$ Да, верно.

[Ubermensch]

1,4 - монотонность доказывается по индукции?
2, 3 - как доказывается монотонность?

[SpBTimes]

1) Рассмотрите отношение
2) Зачем там монотонность?
3) Да и тут?
2, 3: рассмотрите последовательность и отношение последовательных членов. Далее воспользуйтесь неравенством Бернулли
4) Можете по индукции доказать ограниченность, а монотонность удобно рассмотреть, рассмотрев разность последовательных членов