Интеграл Эйлера-Пуассона?

[profrotter]

Числа $a,b\in\mathbb C $. Пытаюсь найти интеграл

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-a(t+b)^2}dt=\frac{1}{\sqrt{a}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-a(t+b)^2}d\sqrt{a}(t+b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-z^2}dz=\sqrt{\frac{a}{\pi}}.$$

Правильно ли поставлены пределы интегрирования на последнем шаге?

[provincialka]

Хм... Возьмите, например, $a=-1\sqrt a = i$, ваш интеграл будет расходиться.

[profrotter]

Пусть $\operatorname{Re}a>0$. Тогда можно взять?

А ну и я там ошибся в итоге я имел ввиду $\sqrt{\frac{\pi}{a}}$ конечно же.

[Otta]

profrotter в сообщении #776149 писал(а):

Пусть $\operatorname{Re}a>0$. Тогда можно взять?

Можно. Но результат при $\operatorname{Im} b \ne 0$ будет другой. Не тот, который Вы ожидаете.

profrotter в сообщении #776071 писал(а):

Правильно ли поставлены пределы интегрирования на последнем шаге?

Нет.

[Otta]

PS.
Пересчитала, не совсем так. Формула окажется в силе при всех $b$, $\operatorname{Re}a>0$ (единственно, придется выбирать правильный корень $\sqrt a$).
На исходный вопрос ответ тот же: пределы расставлены неправильно.
Начнем с того, что в подавляющем большинстве случаев интегрирование переместится с вещественной прямой на другую прямую в комплексной плоскости. Так что окончательный результат нуждается в доказательстве.

[profrotter]

Мы делаем замену $z=\sqrt{a}(t+b)$. Обозначим $\sqrt{a}=\alpha+i\beta$, $b\sqrt{a}=p+iq$, тогда новый путь интегрирования $\Gamma:z=\alpha t+i\beta t+p+iq=(\alpha t+p)+i(\beta t+q), -\infty<t<+\infty$. Так?

[Otta]

Так.

[ewert]

Что-то типа того (в детали не вникал). Надо только теперь не забывать, что этот путь необходимо ещё развернуть на вещественную ось, и тогда при движении справа налево добавится минус.

[Otta]

ewert в сообщении #776288 писал(а):

Что-то типа того (в детали не вникал). Надо только теперь не забывать, что этот путь необходимо ещё развернуть на вещественную ось, и тогда при движении справа налево добавится минус.

... ewert какбэ намекает на использование интегральной теоремы Коши.

[profrotter]

ewert, к сожалению не понял что значит развернуть на всю вещественную ось.

С интегралом потом отработаю - сейчас мало времени.

А нельзя ли нагло так сказать, что мы рассматриваем ФКП $f(a,b)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-a(t+b)^2}dt$ и на действительных $a,b$ всё свести к интегралу Пуассона, а потом сказать, что выполняем аналитическое продолжение и распространяем этот результат на всю комплексную плоскость?

[Otta]

profrotter в сообщении #776312 писал(а):

А нельзя ли нагло так сказать, что мы рассматриваем ФКП $f(a,b)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-a(t+b)^2}dt$ и на действительных $a,b$ всё свести к интегралу Пуассона, а потом сказать, что выполняем аналитическое продолжение и распространяем этот результат на всю комплексную плоскость?

Видимо, нельзя, раз это верно не на всей комплексной плоскости. Но мысль интересная. Потому что аналитичность ломается как раз в нуле. Так что на $\operatorname{Re} a>0$ можно продолжить - с положительной вещественной полуоси соотв.

[nnosipov]

Но аналитичность интеграла не бесплатно же будет. Проще сам интеграл вычислить

[ewert]

profrotter в сообщении #776312 писал(а):

А нельзя ли нагло так сказать,

Так нагло -- нельзя, ибо бесполезно; именно потому, что потом придётся всё-таки разворачивать.

И при этом развороте необходимо понимать, в какую сторону разворачивать можно, а в какую -- низзя никак. Необходимо понимать, что сама возможность разворота оправдывается неким утверждением типа леммы Жордана (не непосредственно ею, но родственным утверждением).