Неоднородные уравнения в частных производных

[illuminates]

Проконсультируйте меня пожалуйста

Допустим у нас есть некое неоднородное уравнение, для определенности:

$$U_t=(a^2)U_{xx}+f(x,t)$$

Решения такого уравнения предлагается искать в виде суммы таких рядов:

$$U(x,t)=f(x,t)+v(x,t)$$

, где

$$f(x,t)$$

- искажение вносимое неоднородностью (источник тепла внутри исследуемого объекта)

$$v(x,t)$$

- решение однородной задачи

далее предполагается сделать следующие:

$$f(x,t)+v(x,t)=f(t)X(x)+v(t)X(x)$$

где $X(x)$ - собственные функции.

Вот этот момент я принципиально не понимаю: почему собственные функции однородной и неоднородной задачи равны? с чем это связанно с точки зрения физики?

зарание спасибо.