Предел числовой последовательности

[fanmath]

здравствуйте.
найти предел последовательности. формула общего члена:
$a(n)=\frac{1\cdot n}{n^3+1}+\frac{2\cdot n}{n^3+2}+\frac{3\cdot n}{n^3+3}+...+\frac{n\cdot n}{n^3+n}$.


ограниченность доказал. пожалуйста, помогите. как можно подробнее
спасибо

[provincialka]

Пишите формулы в TeX, а то унесут в Карантин.
Когда в сумме и члены, и их количество зависят от $n$, это, скорее всего - интегральная сумма.

[fanmath]

provincialka
спасибо, подправил. дело в том, что задача предполагает незнание интегралов. поэтому точно другой способов. выручайте))

[provincialka]

Не пишите звездочку вместо умножения, пишите \cdot.

-- 16.10.2013, 23:26 --

Да, тут интегральная вроде не получается.
Попробуйте теорему о двух милиционерах, оцените знаменатели независимо от номера слагаемого.

[fanmath]

provincialka
пробовал. ограниченность доказал. а дальше никак. не знаю как тонко оценить

[provincialka]

А как вы оценивали? Вы на знаменатель посмотрите, в каких пределах он меняется? (Не хочется слишком явно подсказывать).

[ewert]

Надо попросту выкинуть из знаменателей вторые слагаемые и доказать, что от такого выкидывания в пределе ничего не изменится. После же выкидывания получится сумма никакая не интегральная (хотя и интегральная тоже, конечно), а тупо сумма арифметической прогрессии.

[fanmath]

спасибо. в том числе и за обучающую составляющую ответов.

[Vova_Gidro]

fanmath,
так скажите, пожалуйста, Ваш ответ. Интересно ведь.

[ewert]

Только не ответ, а решение (ответ-то очевиден -- вопрос лишь в том, как его формально обосновать).

[fanmath]

Vova_Gidro, 0.5. Причем ответ получил не я. Успели помочь до того, как я стал решать по вашим советам. В благодарность помогу кому-нибудь на форумах тоже. Спасибо еще раз.

[Vova_Gidro]

ewert
Согласен. Решение тоже интересно. Просто сам немного поигрался с этим пределом и получил ответ, который мне кажется неверным. Поэтому и интересно)

-- Чт окт 17, 2013 01:04:18 --

fanmath
Точно $\frac{1}{2}$. И у меня тоже так вышло. а решение можете выложить? Хочется сравнить