Найти все К

[DjD USB]

Найти все такие натуральные $a$, что число $3^a+5^a$ является степенью натурального числа, большей 1.

(Оффтоп)

извиняюсь, что менял условие

[Urnwestek]

Рассмотрите сравнения по модулю 4, а затем по модулю $p$ — произвольного простого числа.

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #776099 писал(а):

Найти все такие натуральные $a$, что число $3^a+5^a$ является степенью натурального числа, большей 1.

Пусть $3^a+5^a=m^k$, где $k>1$. Если $a$ чётно, то $3^a+5^a \equiv 2 \pmod{4}$, а $m^k \equiv 0 \pmod{4}$. Если $a$ нечётно, то $\nu_2(3^a+5^a)=3$, поэтому $k=3$. При $a>1$ из сравнения $3^a+5^a \equiv m^3 \pmod{9}$ следует, что $a$ делится на $3$, т.е. $a=3b$. Но $3^{3b}+5^{3b} \not\equiv m^3 \pmod{7}$. Итак, $a=1$ --- единственное решение.

-- Чт окт 17, 2013 09:55:20 --

Urnwestek в сообщении #776225 писал(а):

а затем по модулю $p$ — произвольного простого числа.

Что Вы имели в виду? Можете привести Ваше решение?

[gris]

Чего так сложно со сравнениями? Я по-школьному: для чётных показателей записываем симметрично относительно $4$, бином, сокращение и вынесение $2$. В скобках остаётся нечётный сомножитель. Для нечётных больших $1$ раскладываем по ФСУ. Опять $8$ и нечётный сомножитель. То есть правая часть может быть только кубом. А тогда по МТФ и слева кубы, что противоречит ВТФ.
Для первой степени получаем решение вручную.

[nnosipov]

gris в сообщении #776250 писал(а):

А тогда по МТФ и слева кубы

Вот это я не понял. Как здесь малая терема Ферма работает?

gris в сообщении #776250 писал(а):

что противоречит ВТФ.

А это понятно, но хотелось без неё обойтись.

[gris]

Забыл... Вроде бы на свежем воздухе всё получалось, а на бумаге никак Но я потом ещё подумаю, вдруг получится.
А малая теорема в другую сторону не верна? Ладно, чего-то я запутался.

[DjD USB]

nnosipov
Я почти так же решил. Только я не нашел у вас ответа, почему если a-- нечетно, то К равно 3

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #776488 писал(а):

почему если a-- нечетно, то К равно 3

Так это очевидно: если слева только 3 двойки, то чему может быть равно $k$?

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #776532 писал(а):

DjD USB в сообщении #776488 писал(а):

почему если a-- нечетно, то К равно 3

Так это очевидно: если слева только 3 двойки, то чему может быть равно $k$?

Да, да, все понял ... Немного запутался)