2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.1.4)
Сообщение15.10.2013, 19:01 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Задача: Тело, которое можно считать материальной точкой, скатывается с гладкой горки под действием силы тяжести, являющийся графиком дифференциальной функции $f$.
  • Найдите горизонтальную и вертикальную компоненты вектора ускорения, которое имеет тело в точке $(x_0,y_0)$.
  • В случае когда тело скатывается с большой высоты, найдите ту точку параболы $y = x^2$, в которой горизонтальная составляющая вектора максимальна.

Пока что есть вопрос, я когда-то в википедии видел статью про Брахистохрону. И там для материальной точки почему-то записано соотношение $\frac{mv^2}{2} = mgy$. Как они это получили? Ведь закон сохранения энергии — это $\frac{mv^2}{2} + mgy = \operatorname{const}$. Можно ли применить это же соотношение в этой задаче и почему? Спасибо за ответ.

 i  Deggial: тема переименована по просьбе автора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение15.10.2013, 20:18 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Urnwestek в сообщении #775565 писал(а):
И там для материальной точки почему-то записано соотношение $\frac{mv^2}{2} = mgy$.

Закон сохранения энергии, да. В начальный момент времени скорость нулевая. Спуск вниз на ординату $y$ ведет к потере потенциальной энергии $mgy$, при этом приобретение в кинетической энергии равно потере в потенциальной, откуда и вычисляется скорость к этому моменту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение15.10.2013, 20:22 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Otta в сообщении #775610 писал(а):
В начальный момент времени скорость нулевая

Спасибо! Правильно ли я понимаю, что точка $(0,0)$ должна принадлежать кривой f и именно в этой точке скорость должна быть нулевая? То есть, правильно будет рассматривать функцию $f(x)-f(x_0)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение15.10.2013, 20:29 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Urnwestek в сообщении #775612 писал(а):
Спасибо! Правильно ли я понимаю, что точка $(0,0)$ должна принадлежать кривой f и именно в этой точке скорость должна быть нулевая?

Нет, это совершенно необязательно. Но если очень хочется, Вы можете переместить ее куда надо.

-- 15.10.2013, 22:38 --

Urnwestek в сообщении #775612 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что точка $(0,0)$ должна принадлежать кривой f и именно в этой точке скорость должна быть нулевая?

Если речь про статью в Вики, то там так, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение15.10.2013, 21:01 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Хорошо. Тогда не буду это использовать, это удобнее.

Попытка решения первого пункта:
1) Из закона $\frac{mv^2}{2} = mgy_0$ находим модуль производной $v=\sqrt{2g f(x_0)}$
2) Отсюда находим вектор скорости (вектор по направлению производной $(1,f'(x_0))$ нормированный по длине),
$(\sqrt\frac{2gy_0}{y_0'^2+1},y_0'\sqrt\frac{2gy_0}{y_0'^2+1})$ здесь $y_0'=f'(x_0)$
3) Продифференцировав покомпонентно по $dx$ получим вектор ускорения, а именно $(\frac{\sqrt {2g}}{2}(\frac{y_0}{y_0'^2+1})^{-\frac{1}{2}} (\frac{y_0'(y_0'^2+1) - 2y_0y_0'y_0''}{(y_0'^2+1)^2}) , y_0''\sqrt\frac{2gy_0}{y_0'^2+1} + y_0'\frac{\sqrt {2g}}{2}(\frac{y_0}{y_0'^2+1})^{-\frac{1}{2}} (\frac{y_0'(y_0'^2+1) - 2y_0y_0'y_0''}{(y_0'^2+1)^2}))$

Правильно?

-- 15.10.2013, 20:04 --

Цитата:
Закон сохранения энергии, да. В начальный момент времени скорость нулевая. Спуск вниз на ординату $y$ ведет к потере потенциальной энергии $mgy$, при этом приобретение в кинетической энергии равно потере в потенциальной, откуда и вычисляется скорость к этому моменту.

Ещё сейчас вопрос возник, в уравнении $\frac{mv^2}{2} = mgy$ в начальный момент времени модуль скорости $v=0$, но, как вы сказали, координата $y$ вовсе не обязательна равна нулю, получается закон не выполняется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение15.10.2013, 21:12 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Urnwestek в сообщении #775637 писал(а):
Ещё сейчас вопрос возник, в уравнении $\frac{mv^2}{2} = mgy$ в начальный момент времени модуль скорости $v=0$, но, как вы сказали, координата $y$ вовсе не обязательна равна нулю, получается закон не выполняется?

Да вот я как раз и соображаю, как Вам показать Вашу ошибку.
В Вики начальная ордината равна нулю, они это не скрывают. А я написала замысловато: спуск вниз на ординату $y$ и далее по тексту. Фактически, "спуск вниз на ординату $y$" - изменение ординаты, не так ли? Ну или действительно, чтобы не путаться, занулить начальное значение $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение15.10.2013, 21:21 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Otta в сообщении #775645 писал(а):
Urnwestek в сообщении #775637 писал(а):
Ещё сейчас вопрос возник, в уравнении $\frac{mv^2}{2} = mgy$ в начальный момент времени модуль скорости $v=0$, но, как вы сказали, координата $y$ вовсе не обязательна равна нулю, получается закон не выполняется?

Да вот я как раз и соображаю, как Вам показать Вашу ошибку.
В Вики начальная ордината равна нулю, они это не скрывают. А я написала замысловато: спуск вниз на ординату $y$ и далее по тексту. Фактически, "спуск вниз на ординату $y$" - изменение ординаты, не так ли? Ну или действительно, чтобы не путаться, занулить начальное значение $y$.



Спасибо. Сам вывод верен?
Вектор ускорения теперь станет таким? $y = f(x), y_0=f(x_0)$
Ну, тобишь, здесь предполагается что тело начало движение в точке $(x_0,y_0)$ и ищется его вектор ускорения в точке $(x,y)$:

$(\frac{\sqrt {2g}}{2}(\frac{y-y_0}{y'^2+1})^{-\frac{1}{2}} (\frac{y'(y'^2+1) - 2(y-y_0)y'y''}{(y'^2+1)^2}) , y''\sqrt\frac{2g(y-y_0)}{y'^2+1} + y'\frac{\sqrt {2g}}{2}(\frac{(y-y_0)}{y'^2+1})^{-\frac{1}{2}} (\frac{y'(y'^2+1) - 2(y-y_0)y'y''}{(y'^2+1)^2}))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение15.10.2013, 21:45 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Не поняла, почему вектор ускорения равен $d\vec v/dx$? Как-то время у нас отказывается участвовать в расчетах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение15.10.2013, 21:47 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Otta в сообщении #775667 писал(а):
Не поняла, почему вектор ускорения равен $d\vec v/dx$? Как-то время у нас отказывается участвовать в расчетах.

Действительно, сглупил. Подумаю ещё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение16.10.2013, 19:02 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Попытка решения:
1) Полагая, что функция дифференцируемая и в достаточно малой окресности очень хорошо аппроксимируется прямой сделаем следующее. Рассмотрим движение по прямой под углом $\alpha$ под действием силы тяжести. На точку $(x_0,y_0)$ действует сила тяжести и реакция опоры. Свяжем систему координат с этой прямой, направив ось $OX$ вдоль прямой, а ось $OY$ перпендикулярно OX, точка O=$(x_0,y_0)$.
2) Записав закон $F=ma$ для осей OX и OY заметим, что проекция на ось $OY$ должна быть нулевая. А на ось OX, проделав несложные вычисления получим силу $mg\sin(\alpha)$. Из второго закона Ньютона, получим, что вектор ускорения по модулю равен $g\sin(\alpha)$. Переведём систему координат снова в ту, в которой была записана функция $f$. Получим $a(g\sin(\alpha)\cos(\alpha),-g\sin^2(\alpha))$.
3) Выразим синус и косинус через производную, помня, что производная — это тангенс угла наклона. $a(\frac{g}{\sqrt{1+f'(x_0)}\sqrt{1+\frac{1}{f'(x_0)}}},-\frac{gf'(x_0)}{f'(x_0)+1})$.

Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение16.10.2013, 19:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Urnwestek в сообщении #775565 писал(а):
  • Найдите горизонтальную и вертикальную компоненты вектора ускорения, которое имеет тело в точке $(x_0,y_0)$.

Надо просто спроецировать $\vec g$ на направление касательной, а потом полученный вектор спроецировать на горизонталь и на вертикаль. Т.е. для горизонтали умножить на синус угла наклона и потом на косинус, в то время как тангенс -- это производная.
Urnwestek в сообщении #775565 писал(а):
  • В случае когда тело скатывается с большой высоты, найдите ту точку параболы $y = x^2$, в которой горизонтальная составляющая вектора максимальна.

Соответственно и ответ: при каком угле синус на косинус максимален?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение16.10.2013, 19:23 
Аватара пользователя


03/10/13
449
ewert в сообщении #776029 писал(а):
Надо просто спроецировать $\vec g$ на направление касательной, а потом полученный вектор спроецировать на горизонталь и на вертикаль. Т.е. для горизонтали умножить на синус угла наклона и потом на косинус, в то время как тангенс -- это производная.

Прекрасно! Значит выше мой вывод
Urnwestek в сообщении #776024 писал(а):
$a(g\sin(\alpha)\cos(\alpha),-g\sin^2(\alpha))$.

правилен!
ewert в сообщении #776029 писал(а):
Соответственно и ответ: при каком угле синус на косинус максимален?...

Вполне очевидно, что при угле $\frac{\pi}{4}$, значит ответ — при $x_0=1$. Спасибо вам, теперь всё понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение16.10.2013, 19:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Urnwestek в сообщении #776034 писал(а):
очевидно, что при угле $\frac{\pi}{4}$, значит ответ — при $x_0=1$.

Очевидно первое, а второе очевидно не значит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.4)
Сообщение16.10.2013, 19:37 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Вывод неправилен так как в решении я рассматривал угол не $\alpha$ а $\pi-\alpha$ соответственно, правильные формулы
$a(-g\sin(\alpha)\cos(\alpha),-g\sin^2(\alpha))$.
ewert в сообщении #776037 писал(а):
Urnwestek в сообщении #776034 писал(а):
очевидно, что при угле $\frac{\pi}{4}$, значит ответ — при $x_0=1$.

Очевидно первое, а второе очевидно не значит.

Да, снова слажал: получается $2x = \tg(\alpha)$. Отсюда $x=\frac{1}{2}$. (так как $\tg(\frac{\pi}{4})=1$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка скатывается с гладкой горки (Зорич V.1.4)
Сообщение17.10.2013, 02:15 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
ewert
ewert в сообщении #776029 писал(а):
Надо просто спроецировать $\vec g$ на направление касательной,

Тут вот какие дела. Я этим способом решила еще вчера, вспомнив все чУдные слова про реакцию опоры, вбитые с детства, и подивившись, как же крепко они вбиты. Но меня остановили вот какие соображения: если тело движется по криволинейной траектории, то нормальная составляющая ускорения зависит от радиуса кривизны, который в свою очередь зависит от второй производной. И почему-то это кажется естественным, чтобы ускорение содержало вторую производную. Это-то меня и остановило. Что в моих рассуждениях не так?

PS Разумеется, на наклонной плоскости нормальная составляющая отсутствует - поскольку радиус кривизны нулевой, и тогда все в точности так, как решалось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group