Коммутативно ли произведение квадратных матриц?

[belo4ka]

Здравствуйте! Возникло 2 вопроса, помогите, пожалуйста, понять.

1) Коммутативно ли произведение квадратных матриц одного и того же порядка?


2) Пусть матрица $A$ имеет размерность $n\times n$ и матрица $B$ имеет размерность $n\times n$, матрица $X$ имеет размерность $n\times n$.

Тогда единственный способ решить уравнение $AX=B$ будет такой? $AX=B\;\;\Rightarrow\;\;A^{-1}AX=A^{-1}B\;\;\Rightarrow\;\;X=A^{-1}B$

Или есть альтернативные?

[Nemiroff]

belo4ka в сообщении #775627 писал(а):

Коммутативно ли произведение квадратных матриц одного и того же порядка?

Сложно проверить?
$\begin{Vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{Vmatrix}$ и $\begin{Vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{Vmatrix}$

belo4ka в сообщении #775627 писал(а):

Или есть альтернативные?

Решить СЛАУ? Да как угодно.
Кстати, обратной матрицы может и не быть.

[Otta]

Почему Вы не приводите своих соображений?

belo4ka в сообщении #775627 писал(а):

1) Коммутативно ли произведение квадратных матриц одного и того же порядка?

Возьмите две матрицы и проверьте.

belo4ka в сообщении #775627 писал(а):

Тогда единственный способ решить уравнение $AX=B$ будет такой? $AX=B\;\;\Rightarrow\;\;A^{-1}AX=A^{-1}B\;\;\Rightarrow\;\;X=A^{-1}B$

А всегда ли есть обратная матрица? И что называть способом?

[provincialka]

1) Нет
2) Можно еще по правилам Крамера и по методу Гаусса. Матричный способ подходит, только если матрица $A$ невырожденная.
И что вы понимаете под "единственным способом"? Единственный ответ? Да, в этом случае он будет единственным. А способ... да хоть подбором!

[belo4ka]

Nemiroff в сообщении #775638 писал(а):

Сложно проверить?
$\begin{Vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{Vmatrix}$ и $\begin{Vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{Vmatrix}$

Спасибо. Некоммутативны, оказывается.

-- 15.10.2013, 21:17 --

provincialka в сообщении #775640 писал(а):

1) Нет
2) Можно еще по правилам Крамера и по методу Гаусса. Матричный способ подходит, только если матрица $A$ невырожденная.
И что вы понимаете под "единственным способом"? Единственный ответ? Да, в этом случае он будет единственным. А способ... да хоть подбором!

А ну да, ясно. А если предположить, что матрица $A$ невырождена, то обязательно домножать слева здесь?

$AX=B\;\;\Rightarrow\;\;A^{-1}AX=A^{-1}B\;\;\Rightarrow\;\;X=A^{-1}B$

Или можно домножением справа что-то получить?

Что-то вроде такого $AX=B\;\;\Rightarrow\;\;AXA^{-1}=BA^{-1}\Rightarrow\;\;.....\;\;\;\Rightarrow\;\;X=B\cdot C$, где $C$ -- какая-то хитрая матрица=)

[Munin]

Допустим, что решение $X$ нам известно. Тогда мы можем положить $C=B^{-1}X,$ и тогда, очевидно, будет $X=BC.$ Но. Во-первых, это возможно только если $B$ тоже невырождена. А во-вторых, $C$ будет в общем случае зависеть от $B.$ Так что лучше домножать именно слева.

-- 15.10.2013 22:38:33 --

Более того, $C=B^{-1}A^{-1}B,$ так что $C$ будет не зависеть от $B$ только в одном случае: когда $A$ и $B$ коммутативны (тогда и их обратные коммутативны).

[belo4ka]

Munin в сообщении #775661 писал(а):

Допустим, что решение $X$ нам известно. Тогда мы можем положить $C=B^{-1}X,$ и тогда, очевидно, будет $X=BC.$ Но. Во-первых, это возможно только если $B$ тоже невырождена. А во-вторых, $C$ будет в общем случае зависеть от $B.$ Так что лучше домножать именно слева.

-- 15.10.2013 22:38:33 --

Более того, $C=B^{-1}A^{-1}B,$ так что $C$ будет не зависеть от $B$ только в одном случае: когда $A$ и $B$ коммутативны (тогда и их обратные коммутативны).

Спасибо. А что значит $C$ будет не зависеть от $B$. Как они могут зависеть друг от друга, не понимаю....

[Munin]

В выражении $X=A^{-1}B$ множитель $A^{-1}$ может быть вычислен сам по себе, без использования матрицы $B.$ А вот в выражении $X=BC$ более правильно было бы писать $X=B\cdot C(A,B)$ - то есть, множитель $C$ может быть вычислен только из обеих матриц $A$ и $B.$ Зависимость тут подразумевается функциональная, как и для чисел - переменной от переменной.