Определить функцию по методу примитивной рекурсии.

[leo82]

Добрый день Помогите определить функцию $f(x,y)$ полученную из функций $g(x)=x$ и $h(x,y,z)=x+y-z$ по методу примитивной рекурсии.
У меня получается так:
$f(x,0)=g(x)=x$
$f(x,1)=h(x,0,f(x,0))=x+0-x=0$
$f(x,2)=h(x,1,f(x,1))=x+1-x=1$
$f(x,3)=h(x,2,f(x,2))=x+2-1=x+1$
$f(x,4)=h(x,3,f(x,3))=x+3-x-1=2$
$f(x,5)=h(x,4,f(x,4))=x+4-2=x+2$
$f(x,6)=h(x,5,f(x,5))=x+5-x-2=3$
$f(x,7)=h(x,6,f(x,6))=x+6-3=x+3$
$f(x,8)=h(x,7,f(x,7))=x+7-x-3=4$
и т.д.
думаю часть функции которая при х равна $abs (\cos(\pi\cdot y/2))$
а со свободным членом не знаю что делать. он возрастает каждые 2 итерации. целочисленное деление на 2 годится вроде..но будет ли это функцией?

Deggial: формулы поправил

[arseniiv]

leo82 в сообщении #775090 писал(а):

$f(x,2)=h(x,1,f(x,1))=x+1-x=1$

А разве не $\ldots=x+1-0=x+1$?

-- Пн окт 14, 2013 21:45:45 --

И потом, соответственно,
$f(x,3)=h(x,2,f(x,2))=x+2-x-1=1$,
$f(x,4)=h(x,3,f(x,3))=x+3-1=x+2$,
$f(x,5)=h(x,4,f(x,4))=x+4-x-2=2$,
$f(x,6)=h(x,5,f(x,5))=x+5-2=x+3$ и т. д..
Вашу функцию можно записать так:

$$f(x,y)=\begin{cases} x+\frac y2, & \text{если }y\text{ — чётное}, \\ \frac{y-1}2, & \text{если }y\text{ — нечётное}. \end{cases}$$

А можно и многими другими способами, включая и с целочисленным делением и всякими модулями. Функцией это, безусловно, будет, т. к. сопоставляет двум натуральным числам натуральное.

-- Пн окт 14, 2013 21:56:56 --

А вот пример записей в одну строку:

\begin{gather} f(x, y) = \left\lfloor\frac y2\right\rfloor + \frac12\left(x + (-1)^y x\right), \\ f(x, y) = \left\lfloor\frac y2\right\rfloor + x(1 - y\bmod2). \end{gather}

Но не подумайте, что они чем-то лучше предыдущей. Наоборот, она более понятна, чем хитросплетения (1) и (2).

[leo82]

arseniiv в сообщении #775141 писал(а):

leo82 в сообщении #775090 писал(а):

$f(x,2)=h(x,1,f(x,1))=x+1-x=1$

А разве не $\ldots=x+1-0=x+1$?

-- Пн окт 14, 2013 21:45:45 --

Да, верно. Описался - надо было набрать быстро и уходить. Спешил.

arseniiv в сообщении #775141 писал(а):

И потом, соответственно,
$f(x,3)=h(x,2,f(x,2))=x+2-x-1=1$,
$f(x,4)=h(x,3,f(x,3))=x+3-1=x+2$,
$f(x,5)=h(x,4,f(x,4))=x+4-x-2=2$,
$f(x,6)=h(x,5,f(x,5))=x+5-2=x+3$ и т. д..
Вашу функцию можно записать так:

$$f(x,y)=\begin{cases} x+\frac y2, & \text{если }y\text{ — чётное}, \\ \frac{y-1}2, & \text{если }y\text{ — нечётное}. \end{cases}$$

А можно и многими другими способами, включая и с целочисленным делением и всякими модулями. Функцией это, безусловно, будет, т. к. сопоставляет двум натуральным числам натуральное.

-- Пн окт 14, 2013 21:56:56 --

А вот пример записей в одну строку:

\begin{gather} f(x, y) = \left\lfloor\frac y2\right\rfloor + \frac12\left(x + (-1)^y x\right), \\ f(x, y) = \left\lfloor\frac y2\right\rfloor + x(1 - y\bmod2). \end{gather}

Но не подумайте, что они чем-то лучше предыдущей. Наоборот, она более понятна, чем хитросплетения (1) и (2).

Огромное спасибо!