Оценка параметра

[vlad_light]

Имеется много выборок $\mathbf X = (X_0, X_1,...,X_n)$. Данные во всех выборках распределены по закону:

$$X_{i+1} = X_i + \xi _i$$ $$\forall i >0:\xi _i \sim N(\mu, \sigma _i^2),\sigma _i = \alpha e^{|\psi|}, \psi\sim N(0, \sigma _\psi ^2),\alpha \in \mathbb R,$$

где $X_0$ - фиксировано. Как оценить параметры $\mu ,\alpha ,\sigma _\psi$?

[_hum_]

И у вас неравноточные измерения :) См. тему ниже.

[vlad_light]

можете, пожалуйста, пальцем ткнуть, где почитать, а то там так много всего написано...

[_hum_]

Я бы наверное сперва составил новую выборку

$\mathbf{Y} = (\mathbf{Y}_1,\mathbf{Y}_2,\dots, \mathbf{Y}_n), $ $\mathbf{Y}_i = \mathbf{X}_{i+1} - \mathbf{X}_{i} = \xi_i, $

где $\xi_i$ - имеет в качестве распределений смесь нормальных

$f_{\xi_i} (\mu, \alpha, \sigma_\psi; x) = \int f(0, \sigma^2_\psi; u)f(\mu, \alpha^2 e^{2 u}; x)du$

Тогда задача сводится к классической (безо всяких неравноточных измерений) - оценке параметров у распределения с плотностью $f = f_{\xi_i} (\mu, \alpha, \sigma_\psi; x)$ по предоставленной выборке.

Но это если я ничего на засыпающую голову не напутал :)

[--mS--]

vlad_light в сообщении #774871 писал(а):

$$\sigma _i = \alpha e^{|\psi|}, \psi\sim N(0, \sigma _\psi ^2),\alpha \in \mathbb R,$$

Сигма итые одинаковы? А зачем у них индекс?

[vlad_light]

да, одинаковые, но случайные.

[--mS--]

То есть пси ровно одна на все выборки и на все $\xi_i$ внутри каждой выборки? Или для каждой выборки своя пси?

[vlad_light]

я немного путаюсь в обозначениях
пси везде распределена нормально с одинаковыми параметрами. Но значения она принимает разные для каждого отдельного кси. Скорее всего нужно было ещё и пси пронумеровать.

[--mS--]

Ну вот, только что были одинаковые, уже снова разные. Надо ещё спросить: сформулируйте задачу нормально, все выборки приведите со всеми индексами, тогда будет над чем думать. Номер выборки можно в верхний индекс отправить: $X_i^{(j)}$.