Проблема с нахождением лимита

[creedge]

Здравствуйте. Помогите разобраться с примером.

$$\lim_{n \to \infty} \frac { n \sqrt [4]{3n+1}+ \sqrt {81n^4-n^2+1}}{ ( n+ \sqrt[3] {n}) \sqrt {5-n+n^2}} $$

Если n стремится к бесконечности, то мы просто смотрим на наибольшую степень n в числителе и знаменателе. И если степень числителя больше чем знаменателя (а в данном случае так и есть), то лимит стремится к бесконечности.
То есть ответ выходит такой.

$$\lim_{n \to \infty} \frac { n \sqrt [4]{3n+1}+ \sqrt {81n^4-n^2+1}}{ ( n+ \sqrt[3] {n}) \sqrt {5-n+n^2}} = \infty $$

Я бы хотел знать правильно ли я решил это задание.

[provincialka]

А каковы степени числителя и знаменателя? У вас ошибка.

[creedge]

Я, если честно, тоже думаю что там ошибка, но я не знаю каким способом это посчитать. Я не понимаю принцип.

[gefest_md]

Для каждого из подкоренного выражения делаете так: $3n+1=n^4\left(\frac{3}{n^3}+\frac{1}{n^4}\right)$

[provincialka]

Можете попробовать просто в каждой сумме отбросить слагаемые не старшей степени. Это не совсем строго, но дает ответ. А доказать сможете, как показал gefest_md

[Someone]

gefest_md в сообщении #774722 писал(а):

Для каждого из подкоренного выражения делаете так: $3n+1=n^4\left(\frac{3}{n^3}+\frac{1}{n^4}\right)$

Нет, это неудачная идея. Лучше в каждом подкоренном выражении вынести за скобку $n$ в наибольшей степени, какая там есть, и вынести этот множитель из-под корня:

$$n\sqrt[4]{3n+1}=n\sqrt[4]{n\left(3+\frac 1n\right)}=n\cdot n^{\frac 14}\sqrt[4]{3+\frac 1n}=n^{\frac 54}\sqrt[4]{3+\frac 1n}.$$

[creedge]

gefest_md, я никак не могу понять, почему мы выносим за скобки именно n^4, потому что тут корень из 4-ой степени? А в подкоренном выражении

$$\sqrt {81n^4-n^2+1}$$

мы должны тогда вынести n^2, верно?

[provincialka]

А вы пробовали прикинуть, как я сказала? На самом деле и числитель, и знаменатель имеют степени 2.

[gefest_md]

Someone в сообщении #774734 писал(а):

gefest_md в сообщении #774722 писал(а):

Для каждого из подкоренного выражения делаете так: $3n+1=n^4\left(\frac{3}{n^3}+\frac{1}{n^4}\right)$

Нет, это неудачная идея.

Не знаю. Предполагаю, что так удобнее применять какие-то теоремы?

creedge в сообщении #774738 писал(а):

gefest_mdА в подкоренном выражении

$$\sqrt {81n^4-n^2+1}$$

мы должны тогда вынести n^2, верно?

$n^4$. Ответ кажется 81.

[creedge]

gefest_md в сообщении #774751 писал(а):

Ответ кажется 81.

Мне кажется, ответ 9, ведь

$$\sqrt{81}=9$$

Или я вновь что-то упустил из виду?

[gefest_md]

Точно, 9.