Соотношение полилинейных форм и тензоров

[_hum_]

Пусть $U, V$ - произвольные линейные пространства, $\mathrm{Bilin}(U,V)$ - пространство билинейных форм $f = f(u,v), u\in U, v\in V$ (везде считаем, участвует поле вещественных чисел), и пусть $U\otimes V$ - тензорное произведение [wiki/Tensor_product].

В конечномерном случае из

$1)$ $\mathrm{Bilin}(U,V) \cong (U\otimes V)'$ (по универсальному свойству)
$2)$ $U\otimes V \cong (U\otimes V)'$ (как для пространств одной и той же размерности)

вытекает, что

$$\mathrm{Bilin}(U,V) \cong U\otimes V.$$

В бесконечномерном же случае ситуация мне не совсем ясна. Если я правильно понимаю, $1)$ остается справедливым и здесь, но $2)$ уже нет, поскольку алгебраически сопряженное, как говорит нам wiki/Dual_vector_space, всегда "больше", чем исходное. Итого, получается, что в этом случае не всякую билинейную форму можно сопоставить с тензором:

$$\mathrm{Bilin}(U,V) \ncong U\otimes V.$$

Это так?

[Xaositect]

Да.

[_hum_]

Спасибо.

[Oleg Zubelevich]

Небольшое добавление. В википедии воспроизведено определение, которое, судя по всему, принадлежит Бурбакам. Оно не самое удачное ИМХО.
Можно действовать иначе. Например (ВанДерВарден):
$X,Y$ -- линейные пространства
Через $F$ обозначим пространство билинейных форм $f:X^*\times Y^*\to \mathbb{R}$.
Тензорным произведением $x\otimes y,\quad x\in X,\quad y\in Y$ назовем билинейную форму $h \in F$, которая действует по правилу $h(u,v)=u(x)v(y)$.

Тензорным произведением $X\otimes Y$ называется линейная оболочка множества $\{x\otimes y\in F\mid x\in X,y\in Y\}$.
Дальше легко проверить, что если $\{e_i\}$ --- базис Гамеля в $X$ и $\{p_j\}$ -- базис в $Y$ то $e_i\otimes p_j$ -- базис в $X\otimes Y$ Универсальность после этого тоже почти очевидна.

Пусть $g:X\times Y\to\mathbb{R}$ -- билинейная форма. Поставим ей в соответствие линейную функцию $\psi: X\otimes Y\to\mathbb{R}$ по правилу: $\psi(e_i\otimes p_r):=g(e_i,p_r)$. Далее $\psi$ продолжается по линейности. В частности $g(x,y)=\psi(x\otimes y)$

[_hum_]

Oleg Zubelevich в сообщении #774395 писал(а):

Оно не самое удачное ИМХО.

А можно поинтересоваться, чем оно неудачно, и какие достоинства у приведенного вами?

[Oleg Zubelevich]

по-моему оно неудачно тем, что на ровном месте появляется фактор пространство, а определение (точнее говоря, реализация) тензорного произведения Ван Дер Вардена менее абстрактно.

[_hum_]

Я новичок в этой науке, потому могу судить только со стороны. Но то определение мне понравилось тем, что содержит исходный смысл - для чего вообще тензорное произведение вводится. И фактор-пространство там именно что к месту, потому как, во-первых, говорит о том, что мы хотим получить, а во-вторых, обращает внимание на то, что запись наподобие $v_1\otimes v_2$ - это не элемент, а представитель класса эквивалентности. Потому надо быть осторожным. Например, нельзя просто вводить отображение формулой наподобие $g(v_1\otimes v_2) = v_1 + v_2$, ибо $v_1\otimes v_2 \sim (-v_1)\otimes (-v_2)$, а значит, $g(v_1\otimes v_2) = -g(v_1\otimes v_2)$.
Ну, и как-то оно более конструктивно смотрится, чем написанный вами подход, который выглядит, как определение "наизнанку" (через второе сопряженное пространство, если не ошибаюсь).
И да, интересно, проходит ли оно для модулей?

[Oleg Zubelevich]

В конце концов кто к чему привык, хотя знать, наверное, надо все стандартные определения. Шефер в "Топологических векторных пространствах " вводит тензорное произведение следующим образом.
Через $B(X,Y)$ обозначим пространство билинейных функций $f:X\times Y\to\mathbb{R}$. Тензорным произведением $x\otimes y$ называется элемент $(B(X,Y))^*$ определенный следующим образом $(x\otimes y)(f)=f(x,y)$. Тензорным произведением $X\otimes Y$ называется линейная оболочка множества $\{x\otimes y\mid x\in X,y\in Y$

[_hum_]

Вопрос изначально возник из дискуссии по поводу того, что такое тензор, откуда появляется сущностная потребность в нем (в частности, в физике), и для чего его нужно было вводить, если можно было просто обойтись полилинейными формами (предполагалось, что тензоры и полилинейные формы тождественны в алгебраическом смысле). И вот, оказалось, что по крайней мере в математике понятие полилинейной формы все-таки объемнее. Тогда вопрос остался, в чем все-таки суть тензора? В физике это нечто играющее роль обобщенного оператора. В математике же, насколько я понял, нечто другое (с другой функциональностью) - позволяющее полилинейные формы представлять как линейные. А называют все одним и тем же термином. Хотелось бы понять, в чем кроется связь (по сути, а не формально по изоморфизмам).