странная норма

[RIP]

Пусть $R$ --- некоторое кольцо, $N\colon R\to[0,+\infty)$, причём:
1) для всех $x,y\in R$ выполнено $N(xy)=N(x)N(y)$;
2) существует такая постоянная $C>0$, что для всех $x,y\in R$ выполнено $N(x+y)\leqslant C\max\{N(x),N(y)\}$.
Докажите, что для любых $x_0\in R$ и $\varepsilon>0$ существует такое $\delta>0$, что из $N(x-x_0)<\delta$ следует $\bigl|N(x)-N(x_0)\bigr|<\varepsilon$.

[sup]

Симпатичная задача. Нам потребуется тождество
$b^{2n} - a^{2n} = b^{n}(b^{n} - a^{n}) + (b^{n} - a^{n}) a^{n}$
Пусть $N(a) \leqslant N(b)$. Положим $B = N(b)$, $A=N(a)$.
Тогда для $n=2^k$ индуктивно получим
$N(b^{n} - a^{n}) \leqslant B^{n-1}C^{k-1}N(b-a)$.
Значит при условии $N(b-a) < B/C^k$ имеем
$B^n \leqslant CA^n$
А значит для $n = n(B,\varepsilon)$
$B\leqslant A + \varepsilon$
Пусть заданы $x_0$ и $\varepsilon$. Можно считать, что $N(x_0) > 0$ (иначе тривиально). Сначала по $x_0$ и $\varepsilon$ подбираем "с запасом" $n = n(CN(x_0),\varepsilon)$, а затем и $\delta = N(x_0)/C^k$.
Пусть $N(x-x_0) < \delta$. Легко видеть, что $N(x) \leqslant CN(x_0)$. (с этим расчетом и выбирали $n$ с запасом). В зависимости от величин $N(x)$ и $N(x_0)$ назначаем $a$ и $b$ и применяем полученные выше неравенства. (На всякий случай отмечу, что $N(z) = N(-z)$)
Таким образом, мы доказали даже немножко больше. Не просто непрерывность, а еще и равномерную непрерывность на ограниченных по этой норме множествах.

[RIP]

Здесь был спойлер.

[RIP]

Предлагаю теперь найти все такие функции $N$ на $\mathbb{Z}$. (К сожалению, в предыдущем сообщении был спойлер, который, однако, требовал некоторой эрудиции.)

[sup]

Я не совсем понял. Что, для $C \leqslant 2$ неравенства треугольника нет? Мне показалось что так оно и есть. Надо генерить выпуклые комбинации из элементов с одинаковой нормой с помощью среднего арифметического.
А на $\mathbb{Z}$ похоже что $N(x) = |x|^\alpha$ (речь идет о нетривиальных $N$).

[RIP]

sup в сообщении #773725 писал(а):

Что, для $C \leqslant 2$ неравенства треугольника нет?

Есть. Но это был спойлер ко второй задаче, т.к. после него остаётся применить некоторую широко известную в узких кругах теорему, чтобы получить ответ.

sup в сообщении #773725 писал(а):

А на $\mathbb{Z}$ похоже что $N(x) = |x|^\alpha$ (речь идет о нетривиальных $N$).

Это не всё.

[sup]

(Оффтоп)

Ну да, поспешил . Показалось, что $\alpha = \inf \limits_{n>1} \frac{\ln N(n)}{\ln n} = \sup \limits_{n>1} \frac{\ln N(n)}{\ln n}$.

RIP в сообщении #773735 писал(а):

широко известную в узких кругах теорему

Внушает