Задачка

[Хет Зиф]

$f(x)= (tg(x))^{(1234567)}$. В скобках стоит порядок производной.
Найти: $\frac{f(\frac{\pi}{3})}{f(0)} $

[Борис Лейкин]

А можно ещё так, это потруднее будет

$f(x)= (tg(x))^{(123456789)}$. В скобках стоит порядок производной.
Найти: $\frac{f(\frac{\pi}{3})}{f(0)} $

[maxal]

Если нигде не наврал, то

$$(\tg(x))^{(n+1)} = \sum_{k_1 + 2k_2 + \dots + n k_n = n\atop k_i\geq 0, i=1..n} (-1)^{k_3+k_4+k_7+k_8+\dots}\frac{n! (1+k_1+k_2+\dots +k_n)!}{k_1! 1!^{k_1} k_2! 2!^{k_2} \dots k_n! n!^{k_n}} \tg(x)^{k_1+k_3+k_5+\dots} (1+\tg(x)^2)$$

[Хет Зиф]

maxal
По этой формуле можно будет посчитать за определенное время ?

[TOTAL]

$1.5*3^{1234567}-0.5$

[juna]

Раскладывая тангенс в ряд около нуля, можно получить $(\tg(0))^{(2n-1)}=\frac{(-1)^{n-1}4^n(4^n-1)B_{2n}}{2n}$, где $B_i$ - числа Бернулли.

[Руст]

Это мало поможет. Надо учесть $tg^{(k)}x=P_{k+1}(tgx),P_1(z)\equiv z, P_{n+1}(z)=(1+z^2)P_k'(z)$ и формулу $3tg(3x)=tgx+tg(x-\frac{\pi}{3})+tg(x+\frac{\pi}{3}).$

[Хет Зиф]

Артамонов Ю.Н.
А в $\frac{\pi}{3}$

[maxal]

Продифференцировав указанное Рустемом тождество 1234567 раз, подставив $x=0$ и учитывая, что тангенс - нечетная функция, получим:

$$\frac{f(\pi/3)}{f(0)} = \frac{3^{1234568} - 1}{2}.$$

По моей формуле это тоже скорее всего можно получить, но решение будет сложнее.

[Хет Зиф]

Кстати TOTAL всех опередил

[maxal]

Непонятно только как именно TOTAL пришел ответу. Может быть, просто догадался, вычисляя явно пресловутую дробь для $f(x) = (\tg(x))^{(2n+1)}$, $n=0,1,2,\dots$

[Александр Т.]

maxal писал(а):

Непонятно только как именно TOTAL пришел ответу. Может быть, просто догадался, вычисляя явно пресловутую дробь для $f(x) = (\tg(x))^{(2n+1)}$, $n=0,1,2,\dots$

А может быть, использовал разложение тангенса в ряд
$\tg(x) = \dfrac{1}{\pi/2-x}+2(\pi/2-x)\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(\pi/2-x)^2+\pi^2 k^2}$,
который для того, чтобы его было удобнее дифференцировать, можно переписать в расходящемся виде
$\tg(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\dfrac{-1}{x-\pi/2+\pi k}$.
(Спасибо Brukvalub'у за то, что он обратил мое внимание на расходимость.)

[Руст]

maxal писал(а):

Непонятно только как именно TOTAL пришел ответу. Может быть, просто догадался, вычисляя явно пресловутую дробь для $f(x) = (\tg(x))^{(2n+1)}$, $n=0,1,2,\dots$

А разве не очевидно, что из приведённой мной формулы следует (учитывая нечётность функции тангенса) $3^{k+1}tg^{(k)}x|_{x=0}-tg^{(k)}x|_{x=0}=2tg^{(k)}\frac{\pi}{3}$ при нечётном k.

[maxal]

Руст писал(а):

А разве не очевидно, что из приведённой мной формулы следует (учитывая нечётность функции тангенса) $3^{k+1}tg^{(k)}x|_{x=0}-tg^{(k)}x|_{x=0}=2tg^{(k)}\frac{\pi}{3}$ при нечётном k.

Именно это я и написал выше.
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=77309#77309

[Brukvalub]

Александр Т. писал(а):

А может быть, использовал разложение тангенса в ряд
$\tg(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{x-\pi/2+\pi k}$.

В расходящийся ряд